(i)5x2+x2+5x3+4x1x2-8x1x3-4x2x3 2.λ取什么值时,实二次型 是正定的 3.设A是一个实对称矩阵如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说 A是正定的证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数t,使得I+A是正 定的 4·证明,n阶实对称矩阵A=(an)是正定的,必要且只要对于任意 1≤i1<i2<…<i≤n,k阶子式 >0,k=1,2, 5.设A=(an)是一个n阶正定实对称矩阵证明 detA≤a1a2…am 当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立 [提示:对n作数学归纳法,利用定理932的证明及习题4 6.设A=(an)是任意n阶实矩阵证明 (det3s∏a+a3+…+an)阿达马不等式) [提示:当detA≠0时先证明AA是正定对称矩阵再利用习题5] §8.4主轴问题 对于下列每一矩阵A求一个正交矩阵U,使得UAU具有对角形式 (1)A(ii) 5 5 4 8 4 . 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 x + x + x + x x − x x − x x 2． 取什么值时,实二次型 2 1 2 2 3 3 1 4 2 3 2 2 2 (x1 + x + x ) + 2x x − 2x x − 2x x + x 是正定的. 3．设 A 是一个实对称矩阵.如果以 A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说 A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵 A,总存在足够大的实数 t ,使得 tI + A 是正 定的. 4 ．证明 , n 阶实对称矩阵 ( ) A = aij 是正定的 , 必要且只要对于 任 意 1 ,  i 1  i 2  i k  n , k 阶子式 0, 1,2, , . 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 k n a a a a a a a a a k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i          = 5．设 ( ) A = aij 是一个 n 阶正定实对称矩阵.证明 det A  a11a22 ann 当且仅当 A 是对角形矩阵时,等号成立. [提示:对 n 作数学归纳法,利用定理 9.3.2 的证明及习题 4.] 6．设 ( ) A = aij 是任意 n 阶实矩阵.证明 =  + + + n j A a j a j anj 1 2 2 2 2 1 2 (det ) (  ) (阿达马不等式). [提示:当 det A  0 时,先证明 A A ' 是正定对称矩阵,再利用习题 5.] §8.4 主轴问题 1．对于下列每一矩阵 A,求一个正交矩阵 U,使得 U AU ' 具有对角形式: (i)         = b a a b A ;