临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 例4说出以下命题成立的理由 “若[(x)d=A,则im[f(x)dtx=A,(n为正整数)。”并举例说明此命题一般不可逆 解:设F(u)=f(x)x,由条件 lim F(u)=A 根据函数极限的归结原则,对一切满足 limu=+0的数列{n},恒有 lim F(u,)=limf(x)dr=A 特别取Ln=n时,亦有in[f(x)d=A 反之不真,例如 1,x∈|n-1 f(x) n=1.2 显然,f(n)=D(x)=0,从而lm/(x)dx=0:然而却因 使得imn+|=-≠lim(m),从而im[f(x)不存在 如果在[a+∞)上f(x)不变号,则F(u)在[a+∞)上是单调的(当f(x)≥0时F(u)递增,当 f(x)≤0时F(u)递减)。对于单调函数而言,只要有一个数列un→>+∞(n→∞),使得 F(un)→A(n→∞),便能保证imF(u)=A。所以,在f(x)不变号的前提下,本例所讨论的命 题可逆 例5试求下列反常积分的值: (1) (2)5e"lsinxld (3)In(sinx)dx 解:(1)应用不定积分递推公式: dx 2n-3 J (1+x2)2(n-1)1+x2)y12(n-1) 得到临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 5 - 例 4 说出以下命题成立的理由： “若 ∫ 则 （n 为正整数）。”并举例说明此命题一般不可逆。 +∞ = a f (x)dx A, ∫ = →∞ n n a lim f (x)dx A, 解： 设 = ∫ ，由条件 u a F(u) f (x)dx lim F(u) A. u = →+∞ 根据函数极限的归结原则，对一切满足 = +∞ →∞ n n limu 的数列{un }，恒有 ∫ = = →∞ →∞ n u n a n n lim F(u ) lim f (x)dx A, 特别取un = n 时，亦有 ∫ = →∞ u n a lim f (x)dx A. 反之不真，例如 1,2, . , , 2 1 1, , 2 1 1, 1, ( ) = L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − ∈ − − = n x n n x n n f x 显然， = ∫ = ，从而 ；然而却因 n I n f x dx 0 ( ) ( ) 0 lim ( ) 0 0 = →∞ ∫ f x dx n n ∫ + ⎟ = + − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 , 2 1 ( ) ( 1) 2 1 n n I n I n dx 使得 lim ( ) 2 1 2 1 limI n I n n→∞ n→∞ ⎟ = − ≠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ，从而 ∫ 不存在。 →+∞ u u f x dx 0 lim ( ) 如果在[a,+∞)上 f (x) 不变号，则 F(u)在[a,+∞)上是单调的（当 时 递增，当 时 递减）。对于单调函数而言，只要有一个数列 ，使得 ，便能保证 f (x) ≥ 0 F(u) f (x) ≤ 0 F(u) u → +∞(n → ∞) n F(u ) → A(n → ∞) n F u A u = →+∞ lim ( ) 。所以，在 不变号的前提下，本例所讨论的命 题可逆。 f (x) 例 5 试求下列反常积分的值： （1） ; (1 ) 0∫ 2 +∞ + n x dx （2） ∫ +∞ − 0 e sin x dx; x （3） ∫ 2 0 1 (sin ) . x n x dx 解：（1）应用不定积分递推公式： , 2( 1) 2 3 (1 ) 2( 1)(1 ) 2 2 −1 −1 − − + − + = + =n ∫ n n n J n n n x x x dx J 得到