临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 (1+x2)2(n-1)( dx 2(n-1)J(1+x2 由于1= arctanxo“=,因此求得 1 (2)利用例4,并通过分段积分来计算 Ce"lin xdx=lim["e"psir xd k+1)z (3)此为瑕积分,瑕点为0。令x=2t,化为 I=FInsin xdx=lim Insinxdx 4Insin2tdt 2 lim 4 (In2+ Insint+ In cost)dt 21n2 2 In2+2 Insin xdx+2]Insin xdx ln2+21 由此求得I 例6设「(x)x为条件收敛。证明 (1) 「L/(x)+(x)}女与(x-(x 都为发散临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 6 - 1 0 2 1 0 2 2( 1) 2 3 (1 ) 2( 1)(1 ) − +∞ − +∞ − − + − + = + =n ∫ n n n I n n n x x x dx I ∫ +∞ − = − + − = 0 2 1 , 2,3, . 2( 1) (1 ) 2 3 n L x dx n n n 由于 2 arctan 0 1 π = = +∞ I x ，因此求得 , 2,3, . (2 2)!!2 (2 3)!! 2 1 2 4 2 5 2 2 2 3 L 1 = L − − ⋅ ⋅ = − − ⋅ − − = n n n I n n n n I n π （2）利用例 4，并通过分段积分来计算： I e x dx e x dx n x n x sin lim sin (2 2) ∫0 ∫0 + − +∞ →∞ − = = π ∑ ∫ ∫ = + + − + − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n k k k x k k x n e xdx e xdx 0 (2 2) (2 1) (2 1) 2 lim sin sin π π π π ∑[ ] +∞ = + + − + − = + + + 0 (2 2) (2 1) 2 (2 1) (sin cos ) (sin cos ) 2 1 k k k k x k x e x x e x x π π π π [ ] . 2( 1) 1 2 2 1 0 2 (2 1) (2 2) − + = ∑ + + = +∞ = − − + − + π π π π π e e e e e k k k k （3）此为瑕积分，瑕点为 0。令 x = 2t ，化为 ∫ ∫ → + = = 2 0 2 0 1 sin lim 1 sin x u u I n xdx n xdx π → + ∫ = 4 2 0 2 lim 1 sin 2 π u u n tdt ∫ = + + → + 4 2 0 2 lim (1 2 1 sin 1 cos ) π u u n n t n t dt ∫ ∫ = ⋅ + + 4 0 4 0 2 1 sin 2 1 cos 4 21 2 π π π n n tdt n tdt ∫ ∫ = + + 4 0 2 4 1 2 2 1 sin 2 1 sin 2 π π π π n n xdx n xdx 1 2 2 . 2 = n + I π 由此求得 1 2. 2 I n π = − 例 6 设 ∫ 为条件收敛。证明： +∞ a f (x)dx （1） [ ] ∫ +∞ + a f (x) f (x) dx 与 [ ] ∫ +∞ − a f (x) f (x) dx 都为发散；