临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 (2) lim CI(+ okr Clo)-fofor 证明:(1)用反证法,倘有其一(例如(-()收数,则由收敛的线性质推得 亦收敛。而这与[(x)x为条件收敛的假设相矛盾,所以这两个无穷积分都是发散的,且 U/(x)+f(x)x=+=Ux-(x 意即它们都是无穷大量。 (2)这里是要证明(1)中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察 ∫o)+fo}h,2 2f(1)d (19) Clol-soft I(x)l-f(kdr 由假设与(1)的结论,已知 lim2f/(dt=2 ff(x)dx 为一常数,而 limf Ir(o)-fofu=+oo 所以(1.9)式左边当x→+∞时的极限为0,故结论得证。 注本例(1)中的两个无穷积分,其被积函数f(x)+f(x)与f(x)-f(x)的特征分别是 保留了∫(x)的正值与负值(相差2倍)。正如前面讨论问题2时所言,条件收敛的反常积分靠 的是正、负相消才能收敛,如果失去了“相消”作用(如当前情形),就立刻变成发散,这就是 条件收敛的本质所在 例7证明:若[(x)绝对收敛,回mg(x)=A存在,则∫7(x)(x)k必定绝对收敛。又 若把/(xk改设为条件收敛,试举出反例说明∫(x)g(xk不一定收敛 证明:由limg(x)=A,可知当x充分大时有 &(x)sM=max(A+114-1kx>G) 从而又有 Jf(x)g(x≤Mf(x)x>G 再由(x)女,根据比较法则便证得C(xg(x)收敛 7临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 7 - （2） [ ] [ ] 1. ( ) ( ) ( ) ( ) lim = − + ∫ ∫ →+∞ x a x a x f t f t dt f t f t dt 证明：（1）用反证法。倘有其一 [ ] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ +∞ a 例如 f (x) f (x) dx 收敛，则由收敛的线性性质推得 [ ] ∫ ∫ +∞ +∞ = − + a a f (x) dx f (x) f (x) f (x) dx 亦收敛。而这与 ∫ 为条件收敛的假设相矛盾，所以这两个无穷积分都是发散的，且 +∞ a f (x)dx [ ] [ ] ∫ ∫ +∞ +∞ + = +∞ = − a a f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx, 意即它们都是无穷大量。 （2）这里是要证明（1）中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察 [ ] [ ] [ ] , ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ − − = − + x a x a x a x a f x f t dt f t dt f t f t dt f t f t dt （1.9） 由假设与（1）的结论，已知 ∫ ∫+∞ →+∞ = x x a a lim 2 f (t)dt 2 f (x)dx 为一常数，而 [ ] ∫ − = +∞ →+∞ x x a lim f (t) f (t) dt , 所以（1.9）式左边当 x → +∞ 时的极限为 0，故结论得证。 注 本例（1）中的两个无穷积分，其被积函数 f (x) + f (x) 与 f (x) − f (x) 的特征分别是 保留了 的正值与负值（相差 2 倍）。正如前面讨论问题 2 时所言，条件收敛的反常积分靠 的是正、负相消才能收敛，如果失去了“相消”作用（如当前情形），就立刻变成发散，这就是 条件收敛的本质所在。 f (x) 例 7 证明：若 ∫ 绝对收敛， +∞ a f (x)dx g x A x = →+∞ lim ( ) 存在，则 必定绝对收敛。又 若把 改设为条件收敛，试举出反例说明 不一定收敛。 f x g x dx a ( ) ( ) ∫ +∞ ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)g(x)dx 证明： 由 g x A ，可知当 x = →+∞ lim ( ) x 充分大时有 g(x) ≤ M = max{A+1, A−1}(x f G), 从而又有 f (x)g(x) ≤ M f (x), x f G. 再由 ∫ +∞ a f (x) dx ，根据比较法则便证得 ∫ +∞ a f (x)g(x) dx 收敛