临沂師范兽院骨晶髁程兽台析银外训练方囊 sInx 例如对于条件收敛的[f(x)dtx= dx和 g(x)=1 /x 得到 (x)g(x)dx sInx sir 「在收敛,而 显然是发散的,所以(x(x)dk也是发散的无穷积分 例8证明:当x→+∞时,「e和xe2)是等价无穷小量 证明:显然,lim(xe2)-=0,又因 所以[e2dx收敛,由收敛定义又知(参见§1的(16)式 dt=0 这说明当x→>+∞时,它们都是无穷小量;下面再来证明它们是等价无穷小量。 借助§1例1和洛必达法则,可得 (1+x2) 故结论成立。 例9讨论下列反常积分的敛散性 (1) (2) (3) 解:(1)注意这里的 x+m与x减(m≠0都是发散的无穷积分,两者之差没有 收敛或发散的肯定结论。为此,需要先把被积函数合成为一个分式:临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 8 - 例如对于条件收敛的 ∫ ∫ +∞ +∞ = 1 sin ( ) dx x x f x dx a 和 1( ), sin ( ) =1+ → x → +∞ x x g x 得到 . sin sin ( ) ( ) 1 2 dx x x x x f x g x dx ∫a ∫ +∞ +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 由于 dx x x ∫ +∞ 1 sin 收敛，而 ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 1 1 2 1 cos2 2 sin 1 dx x x x dx x x 显然是发散的，所以 ∫ 也是发散的无穷积分。 +∞ a f (x)g(x)dx 例 8 证明：当 x → +∞ 时， 2 2 1 ( ) 2 2 − +∞ − ∫ x x t e dt和 xe 是等价无穷小量。 证明： 显然， lim( ) 0; 2 1 2 = − →+∞ x x xe 又因 lim 0, 2 2 2 = − →+∞ x x x e 所以 e dx x x ∫ +∞ − 2 2 收敛，由收敛定义又知（参见§1 的（1.6）式） ∫ +∞ − →+∞ = x t x lim e dt 0. 2 2 这说明当 x → +∞ 时，它们都是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量。 借助§1 例 1 和洛必达法则，可得 1, (1 ) lim ( ) lim 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 = − + − = − − − →+∞ − +∞ − →+∞ ∫ e x e xe e dt x x x x x t x 故结论成立。 例 9 讨论下列反常积分的敛散性： （1） ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 +2 ; 1 dx x m x m x （2） ; sin 0 2 dx x x ∫ +∞ ′′ （3） ; sin cos 2 ∫0 ′′ ′′ π x x dx （4） . 1 cos 11 0 2 dx x x ∫ 解：（1）注意这里的 ∫ +∞ 1 +2 dx x m x 与 ∫ +∞ ≠ 1 + ( 0) 1 dx m x m 都是发散的无穷积分，两者之差没有 收敛或发散的肯定结论。为此，需要先把被积函数合成为一个分式：