习题3一1 1.填空题 )函数y=mx在区侧[受上满足罗尔定理的5- (2)曲线y=e在点x= 处的切线与连接两点(0,1)与(1，-)的弦平行. 解（）星然函数)=m2x在区间-受习上满足罗尔定理的三个条件，所以存在 5e(受.使得-0，即sm25-0=0. (2)由于函数y=e-x在区间[0,1]上连续，(0,1)内可导，所以满足拉格朗日定理的条件.故 存在x∈0，)，使得0)-0=y,即上-1=-e,解得飞=1-mfe-1). 1-0 2.证明下列恒等式 (1)arctanxtarccot). (2)3arccosx-arecos). 证(1)令f(x)=arctanx+arccotx,则x∈(-o,+o),f'(x)=0,所以f(x)=C(常 数).又fo=7故)=actn+=7xe(←to). （2）令)=3aos-aco3-4r.则vre(x<分 3 3-12x2 3 31-4x2) f倒+-6x-4n-+a-0-4r0, 所以f)三C(常数).又f0)=f仕)=元，所以 )=3 arccoSx--arccos(3x-4xr)=π（←）sx≤ 3.证明：方程x+x-1=0只有一个正实数根. 证存在性：令f(x)=x+x-1.则f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=-1<0,f(1)=1>0, 根据零点定理知，至少存在ξ∈(0,1)，使得f()=0,即5是方程的一个正实数根： 唯一性：假设方程有两个正根5,52∈(0，+∞)（设5<52），则f(x)在[51,52]上满足罗尔定理 的条件，所以至少存在一点7∈[5,5]，使∫"(7)片5n+1=0,这与∫"(x)=5x+1>0矛盾.说明 方程x5+x-1=0只有一个正实数根. 11 习题 3－1 1．填空题 （1）函数 y x 2  sin 在区间 ] 2 , 2 [    上满足罗尔定理的   ． （2）曲线 x y e   在点 x  处的切线与连接两点 (0,1) 与 ) 1 (1, e 的弦平行． 解 （1）显然函数 y x 2  sin 在区间 ] 2 , 2 [    上满足罗尔定理的三个条件，所以存在 2 2   （- ， ） ，使得 y ( ) 0   ，即 sin 2 0, 0     ． （2）由于函数 x y e   在区间 [0 1] , 上连续， (0 1) , 内可导，所以满足拉格朗日定理的条件．故 存在 x （0 1，） ，使得 (1) (0) ( ) 1 0     y y y x ，即 1 1 e e     ，解得     1 1 ln( e )． 2．证明下列恒等式 （1） arctan arccot 2 x x    ， x  (,) ． （2） 3 1 1 3arccos arccos(3 4 ) ( ) 2 2 x x x x        ． 证 （1） 令 f x x x ( ) arctan arccot   ，则      x f x ( , ), ( ) 0  ，所以 f x C ( )  （常 数）．又 (0) , 2 f   故 ( ) arctan arccot , ( , ) 2 f x x x x        ． （２） 令 3 f x x x x ( ) 3arccos arccos(3 4 )    ，则 1 1 ( ), 2 2      x x 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 12 3 3(1 4 ) ( ) 0 1 1 (3 4 ) 1 (1 )(1 4 ) x x f x x x x x x x                 ， 所以 f x C ( )  （常数）．又 1 (0) ( ) , 2 f f     所以 3 1 1 ( ) 3arccos arccos(3 4 ) ( ) 2 2 f x x x x x         ． 3．证明：方程 1 0 5 x  x   只有一个正实数根． 证 存在性：令 5 f x x x ( ) 1    ．则 f x( ) 在区间 [0 1] , 上连续，且 f (0) 1 0,    f (1) 1 0   ， 根据零点定理知，至少存在 (0 1) , ，使得 f ( ) 0   ，即  是方程的一个正实数根； 唯一性：假设方程有两个正根 1 2 1 2     , ,    (0 ) ( ) 设 ，则 f x( ) 在 1 2 [ ]  , 上满足罗尔定理 的条件，所以至少存在一点 4 1 2      [ ], ( )=5 +1=0 , f 使  ，这与 4 f x x ( ) 5 1 0    矛盾．说明 方程 1 0 5 x  x   只有一个正实数根．