4.设函数f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：在(0，π)内至少存在一点5，使得 f'(5)sin5+f(5)cos5=0. 证令F(x)=f(x)sinx.则F(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，并且F(O)=F(π)=0， 故F(x)在[O,π]上满足罗尔定理的条件.因此，至少存在一点5∈(O,π)，使得F'(5)=0,亦即 f'(5)sin5+f(5)cos5=0. 5.设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=0,令F(x)=(x-a)f(x),证明：在 (a,b)内至少存在一点5，使得F"()=0. 证F(a)=Fb扌，则F(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，∴.3n∈(a,b)使得 F'()=0.又F'(x)=f(x)+(x-a)f'(x),可见F'(a)=0,故F'(x)在区间[a,]上也满足罗尔 定理的条件，所以，∴.35∈(a,)∈(a,b),使得F"()=0. 6.证明下列不等式 (1)当x>1时，e>ex: (2)当b>a>0时，b-a<1nb<-a b aa 证(1)令f(x)=e,则f(x)在区间[L,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 f(x)-f()=f'(5)x-1)(1<5<x),即e-e=e(x-l)>e(x-1)从而e>ex. (2)令f(x)=lnx,则f(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 nb-lna=」又由于上<是<↓所以上<nb-lna<↓，亦b-a<nb<b-a b-a5 b5a’ b b-a a b aa 7.设0<a<b,函数f(x)在[a,]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在 一点5，使得fO-j@=5f5)n2 证令g(x)=lnx,则f(x)g(x在区间[a,b]上满足柯西中值定理的条件.从而 5∈a,b)使fb)-f@-f但，即fb-fa@='2,即fb-fa@=f g(b)-8(ag'(5) Inb-Ina 1 a 5 8.设0<a<b.证明：在(a,b)内至少存在一点5，使ae°-be=(5-1)e(b-a). 正令商数)=8)=士则/倒)g)在区间La,1上满足树西中值定理的条件，从2 4．设函数 f (x) 在 [0, ]  上连续，在 (0, )  内可导，证明：在 (0, )  内至少存在一点  ，使得 f f ( )sin ( ) cos 0       ． 证 令 F x f x x ( ) ( )sin  ．则 F x( ) 在 [0, ]  上连续，在 (0, )  内可导，并且 F F (0) ( ) 0    ， 故 F x( ) 在 [0, ]  上满足罗尔定理的条件．因此，至少存在一点   (0, ) ，使得 F( ) 0   ，亦即 f f ( )sin ( )cos 0       ． 5．设函数 f (x) 在 [a,b] 上二阶可导，且 f (a)  f (b)  0 ，令 F(x)  (x  a) f (x) ，证明：在 (a,b) 内至少存在一点  ，使得 F( )  0 ． 证 F a F b ( ) ( ) 0   ，则 F x( ) 在区间 [ , ] a b 上满足罗尔定理的条件，  ( , ) a b 使得 F( ) 0   ．又 F x f x x a f x   ( ) ( ) ( ) ( ),    可见 F a( ) 0  ，故 F x ( ) 在区间 [ , ] a  上也满足罗尔 定理的条件，所以，      ( , ) ( , ) a a b ，使得 F( ) 0   ． 6．证明下列不等式 （1） 当 x  1 时， x e e x  ； （2） 当 b a   0 时， ln b a b b a b a a     ． 证（1） 令 ( )  x f x e ，则 f x( ) 在区间 [1, ] x 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 f x f f x x ( ) (1) ( )( 1) (1 )         ，      ( 1) ( 1) x e e e x e x 即  ，  x 从而e ex ． （２）令 f x x ( ) ln  ，则 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 ln ln 1    b a b a  ，又由于 1 1 1   b a  ，所以 1 ln ln 1     b a b b a a ，亦 ln b a b b a b a a     ． 7．设 0   a b，函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，证明：在 (a,b) 内至少存在 一点  ，使得 ( ) ( ) ( )ln b f b f a f a     ． 证 令 g x x ( ) ln  ， 则 f x g x ( ) ( ) 、 在区间 [ , ] a b 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 ． 从 而   ( , ) a b 使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g        ，即 ( ) ( ) ( ) ln ln 1 f b f a f b a       ，即 ( ) ( ) ( )ln b f b f a f a     ． 8．设 0   a b ．证明：在 (a,b) 内至少存在一点  ，使     ( 1) ( ) b a ae be e b a   ． 证 令函数 1 ( ) , ( ) x e f x g x x x   ，则 f x g x ( ) ( ) 、 在区间 [ , ] a b 上满足柯西中值定理的条件．从