370 高等数学重点难点100讲 式左端是对坐标的曲线积分,所以要变号,而右端是对弧长的曲 线积分(( Pcos+ Acos)为被积函数),不变号,这时等式(*) 不就不成立了吗?其实不然,因为L的方向改变后,P的方向也 应改变,cosa、cosB也就变号,因而(*)式右端也就变号,所以 (*)式仍成立 类似地有Pdx+Qdy+Rdz=.( Pcos+ Acos+ d Rosy)ds,其中a、B、v为上点(x,y,z)处的切线向量的方向角. 图85-2 例13把对坐标的曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成 对弧长的曲线积分,其中l为:(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1);(2)沿抛物线y x2从点(0,0)到点(1,1);(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1) 解(1)L的方向余弦cosa=cosB=7元 所以 P(r,y)dx+Q(x,y)dy=L[P(, y)cosa+Q(r,y)cosp]ds P(r, y)+Q( (2)l的参数方程为x=x,y=x2,0≤x≤1,故有向弧l上点(x,y)处的切向量t={1, x},由此得,cosa osB √1+4x 1+4x3是 P(x,y)dx +Q(r, y)dy erQ(Iyds √1+4 (3)的参数方程取为x=x,y=√2x-x2,0≤x≤1,上点(x,y)处的切向量t= },由此得csa=√2x-x2,cosB=sina=√1-2x+x=1-x,于是 √2x ∫P(x,y)x+a(y)y=2x=P(x,y)+01-2x,y)k 例14设为曲线x=t,y=t2,x=t2上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的 曲线积分Pdx+Qdy+Rdz化为对弧长的曲线积分 解有向弧上点(x,y,z)处的切向量 t={g(t),y(t),a(t)}=1,2t,32}=12x,3y}, 由此求得cosa COs cos》 √1+4x2+9y +4x2+9y 于是, Pdr+Qdy+ rdz P+ 2IQ+ byrd r√1+4x2+9