当q=时,Sn=m→∞发散 当q=-时,级数变为a-a+a-a+…∴lmSn不存在发散 「当<时收敛 综上21当2时发散 例2判别无穷级数11 22.3 n;(+D…的收敛性 (2n-1)(2n+1)22n-1n,) 1·33.5 (2n-1)·(2n+1) 2n-12n+ (1 lim s,=lm-(1 级数收敛,和为 、基本性质 性质1如果级数∑n收敛则∑k亦收敛 结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变 性质2设两收敛级数s=∑,=∑n则级数∑(un±v,)收敛其和为s±a 结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3若级数∑un收敛则∑un也收敛(k≥1)且其逆亦真 n=k+1 证明41+1+lk+2+…+lk+n+ G.=l21+l4+…+l JI lim o,=lim sntk-lim Sk =S-SK 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和4 当q =1时, sn = na → 发散 当q = −1时, 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上         = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 例 2 判别无穷级数  +  + + +  +  ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1 − + = n n  un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 + − − = n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 −  + + +  +   = n n sn  ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1 + − − = − + − + + n n  ), 2 1 1 (1 2 1 + = − n ) 2 1 1 (1 2 1 lim lim +  = − → → n s n n n , 2 1 = . 2 1  级数收敛, 和为 三、基本性质 性质 1 如果级数   n=1 n u 收敛,则   n=1 n ku 亦收敛. 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质 2 设两收敛级数   = = n 1 un s ,   = = n 1 n  v ,则级数   =  1 ( ) n n n u v 收敛,其和为 s  . 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质 3 若级数   n=1 n u 收敛,则   n=k+1 n u 也收敛 (k 1) .且其逆亦真. 证明 uk+1 +uk+2 ++uk+n +  n = uk+1 +uk+2 ++uk+n , n k k = s − s + k n n k n n n s s → + → → 则 lim  = lim − lim . k = s − s 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和