15.(98409)设向量a=(a1,a2,…,an),B=(,b2…,b2)都是非零向量,且满足条件 a2B=0.记x阶矩阵A=aF,求 (2)矩阵A的特征值和特征向量 解注意利用矩阵运算的特殊性:a2B为数,af 抽象矩阵A的特征值一 用定义Ax=kx求解,若A满足矩阵多项式f(4=0,则A的特征值必须满足 Jf(4)=0 1)由A=a和a2B=0,有 A2=AA=(aB)aF)=aBaB=(BaaF=(aBap=O (2)设A为A的任一特征值,A的属于待征值的特征向量为x(x≠0),则 Ax= ar 于是 Ax=2Ax=2x 因为A2=O,所以12x=0.又因为x≠0,故是=0,即矩阵A的特征值全为零 不妨设向量aβ中分量a1≠0,1≠0,对齐次线性方程组(0E-A)x=0的系数矩阵施 以初等行变换 的)(1b2 a21-a23 A 由此可得该方程组的基础解系为 (-,01…,0)2,…,ax1=( 于是,A的属于特征值=0的全部特征向量为 c1喁+2a2+…+cn11(其中1,c2…n1是不全为零的常数 16.(98407)已知下列非齐次线性方程组(I),(Ⅱ) (1)14x 1,( -11 (1)求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解; (2)当方程组()中的参数m,n,为何值时,方程组(1)与()同解