§4.6乘积测度与 Fubini定理 教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理一 Fubini定理 本节要点乘积测度的构造利用了§22测度的延拓定理 Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理 Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用 设X和Y是两个非空集,AcX,BcY.称AxB为XxY中的矩形(定义 A×=,×B=) 例如平面可以看成是直线与直线的乘积,即R×R=R2.当A和B是直线上的 有界区间时,AxB就是平面上的通常意义下的矩形本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间,但可以将RxR=R2这一特殊情形作为直观模型.通过直接验证,不难证明矩形 具有如下性质(图6-1) (1).(A1×B1)∩(A2×B2)=(A1∩A2)×(B1∩B2) (2).(A1×B1)-(A2×B2)=[(A-A2)×B1]u[(A1∩A2)×(B1-B2) B E E, A X A E1=(A1-A2)×B1E2=(A1∩A2)×(B1-B2) 图6-1 设(X,A,p)和(Y,,v)是两个测度空间.若A∈.A,B∈B,则称A×B为可测矩形 设C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半124 4.6 乘积测度与 Fubini 定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了 2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设 X 和 Y 是两个非空集, A ⊂ X , B ⊂ Y. 称 A× B 为 X ×Y 中的矩形(定义 A×∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R × =1 R . 2 R 当 A 和 B 是直线上的 有界区间时, A× B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间, 但可以将 1 R × =1 R 2 R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形 具有如下性质(图 6 1): (1).( ) ( ) ( ) ( ). A1 × B1 ∩ A2 × B2 = A1 ∩ A2 × B1 ∩ B2 (2).( ) ( ) [( ) ] [( ) ( )]. A1 × B1 − A2 × B2 = A1 − A2 × B1 ∪ A1 ∩ A2 × B1 − B2 图 6-1 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个测度空间. 若 A∈ A, B ∈B, 则称 A× B 为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半 ( ) ( ) 1 1 2 1 E 2= A1 ∩ A2 × B1 − B2 E = (A − A )× B X A1 64 744 4 844 A2  E1              B2 B1 Y 14 24 4 34 E2