第二十一讲球函数(三) §21.1连带 Legendre函数 本节讨论连带 Legendre方程 d n2 1-x2)+(x- =0 1-x2 3 在有界条件 y(±1)有界 下的解 方法是试图找出连带 Legendre方程和 Legendre方程之间的关系 首先分析连带 Legendre方程 - dw] m 2 dz +(x- 1-2 w=0 在奇点处的性质连带 Legendre方程的奇点和 Legendre方程完全一样,都是z=±1和z=∞, 而且也都是正则奇点.在z=±1处的指标方程是 m 2 p(p-1)+p- =0 4 所以,指标为 = 这说明,连带 Legendre方程的解可以写成 w(2)=(1-z2)2v( 的形式.代入方程,就可以得到v(z)所满足的方程 (1-z2)v-2(m+1)z+x-m(m+1)]v=0. ( 这时v(z)在z=±1的指标为0与-m.指标为-m的解在z=±1点一定是发散的 用数学归纳法可以证明,方程()可以通过 Legendre方程微商m次而得到 ★m=0时显然正确Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✟) §21.1 ✠✡ Legendre ☛☞ ✌ ✍✎✏✑✒ Legendre ✓✔ d dx  ￾ 1 − x 2
dy dx  +  λ − m2 1 − x 2  y = 0 ✕✖✗✘✙ y(±1)✖✗ ✚✛✜✢ ✓✣✤✥ ✦✧ ★✑✒ Legendre ✓✔✩ Legendre ✓✔✪ ✫✛ ✬✭✢ ✮✯✰✱✲✳ Legendre ✴✵ d dz  ￾ 1 − z 2
dw dz  +  λ − m2 1 − z 2  w = 0 ✶✷✸✹✺✻✼✢✲✳ Legendre ✴✵✺✷✸✽ Legendre ✴✵✾✿❀❁❂❃❄ z = ±1 ✽ z = ∞ ❂ ❅❆❇❃❄❈❉✷✸✢✶ z = ±1 ✹✺❊❋✴✵❄ ρ(ρ − 1) + ρ − m2 4 = 0, ●❍❂ ❊❋■ ρ = ± m 2 . ❏❑ ▲❂ ✲✳ Legendre ✴✵✺▼◆❍❖P w(z) = ￾ 1 − z 2
m/2 v(z) ✺◗❘✢❙❚✴✵❂❯◆❍❱❲ v(z) ●❳❨✺ ✴✵ ￾ 1 − z 2
v 00 − 2(m + 1)zv0 + [λ − m(m + 1)]v = 0. (z) ❏❩ v(z) ✶ z = ±1 ✺❊❋■ 0 ❬ −m ✢❊❋■ −m ✺▼✶ z = ±1 ✸ ❀❭❄❪❫✺✢ ❴❵❛❜❝❞◆❍❡ ▲ ❂✴✵ (z) ◆❍❢❣ Legendre ✴✵❤✐ m ❥ ❅❱❲✢ F m = 0 ❩❦❧❈♠✢