§21.1连带 Legendre函数 ★设m=k时成立, 1-2)(()-2k+12(0)+-k+1)( 再徵商一次 (-2)(0)-2()-2k+1:(0)"-2k+1()+1-Mk+1)()=0 这样就得到 -2)(+)-2k+2:(+)+-(+1(+2)x)=0 命题得证.口 于是,连带 Legendre方程在环域0<|z-1<2内的解就是 (2)=c1(1-2)/Pm()+c2(1-2) (z) 其中入=D(u+1).下面再用有界条件定出本征值和本征函数 首先要求在x=1点有界 ★P(x)在x=1点是有界的 ★Q(x)在x=1点是对数发散的 ★(1-x2)m/P{m)(x)在x=1点也是有界的,它是连带 Legendre方程在x=1点的邻域内指标 p=m/2的解 ★Qm(a)在=1点是以(x-1)m的方式发散的,所以,(-2)m2Qm()在x=1点也 定是发散的,它正是连带 Legendre方程在x=1点的邻域内指标p=-m/2的解 ★有界条件要求解在x=1点有界,所以,c2=0 再要求在x=-1点有界 ★对于一般的v值,只要P(x)是无穷级数,它在x=-1点就是对数发散的 ★x=-1点就是Pm(x)的m阶极点 ★所以,(1-2)m/2P如(x)在x=-1点也还是发散的 为了满足在x=-1点有界的要求,唯一的可能是P(x)断成多项式,即v为非负整数 ★由于在解中出现的是P四(x),所以必须有v≥m 总结上面的讨论,就求出了连带 Legendre方程在有界条件下的解 本征值A=l(+1),l=m,m+1,m+2 本征函数v(x)=c1(1-x2) 通常取c1=(-)m,而将本征函数记为Pr(x) Pm()=(-m(1-x2)/P(m)(r),Wu Chong-shi §21.1 ♥♦ Legendre ♣q r 2 s F t m = k ❩P✉❂ ￾ 1 − z 2
 v (k) 00 − 2(k + 1)z  v (k) 0 + [λ − k(k + 1)]  v (k)  = 0. ✈ ❤✐❀❥❂ ￾ 1 − z 2
 v (k) 000 − 2z  v (k) 00 − 2(k + 1)z  v (k) 00 − 2(k + 1)  v (k) 0 + [λ − k(k + 1)]  v (k) 0 = 0, ❏ ❁❯❱❲ ￾ 1 − z 2
 v (k+1)00 − 2(k + 2)z  v (k+1)0 + [λ − (k + 1)(k + 2)]v (k+1) = 0. ✇①❱❡✢ ② ❄❂✲✳ Legendre ✴✵✶③④ 0 < |z − 1| < 2 ⑤ ✺▼❯❄ w(z) = c1 ￾ 1 − z 2
m/2 P (m) ν (z) + c2 ￾ 1 − z 2
m/2 Q (m) ν (z), ⑥ ⑦ λ = ν(ν + 1) ✢⑧⑨✈❴⑩❶❷❸❭❹❺❻❼✽ ❺❻❽❵✢ ✮✯ ❾❿➀ x = 1 ➁➂➃ ✢ F Pν(x) ✶ x = 1 ✸ ❄ ⑩❶✺✢ F Qν(x) ✶ x = 1 ✸ ❄➄❵ ❪❫✺✢ F ￾ 1 − x 2
m/2 P (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸❇ ❄ ⑩❶✺ ❂➅❄✲✳ Legendre ✴✵✶ x = 1 ✸✺➆④ ⑤ ❊❋ ρ = m/2 ✺▼✢ F Q (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸ ❄ ❍ (x − 1)−m ✺ ✴ ❘ ❪❫✺ ❂ ●❍❂ ￾ 1 − x 2
m/2 Q (m) ν (x) ✶ x = 1 ✸❇ ❀ ❭❄❪❫✺ ❂➅❈❄✲✳ Legendre ✴✵✶ x = 1 ✸✺➆④ ⑤ ❊❋ ρ = −m/2 ✺▼✢ F ⑩❶❷❸➇➈▼✶ x = 1 ✸⑩❶❂ ●❍❂ c2 = 0 ✢ ✈ ❾❿➀ x = −1 ➁➂➃ ✢ F ➄ ② ❀➉✺ ν ❼❂➊➇ Pν(x) ❄➋➌➍❵ ❂➅✶ x = −1 ✸ ❯❄➄❵ ❪❫✺✢ F x = −1 ✸ ❯❄ P (m) ν (x) ✺ m ➎➏✸ ❂ F ●❍❂ ￾ 1 − x 2
m/2 P (m) ν (x) ✶ x = −1 ✸❇➐❄❪❫✺✢ F ■➑❳❨✶ x = −1 ✸⑩❶✺➇➈❂➒❀✺◆➓❄ Pν(x) ➔ P→➣❘ ❂↔ ν ■↕➙➛❵✢ F ➜ ②✶▼ ⑦ ❹➝✺ ❄ P (m) ν (x) ❂ ●❍➞➟⑩ ν ≥ m ✢ ➠➡➢⑨✺➤➥❂❯➈ ❹ ➑✲✳ Legendre ✴✵✶⑩❶❷❸⑧✺▼ ❺❻❼ λl = l(l + 1), l = m, m + 1, m + 2, · · · ❺❻❽❵ yl(x) = c1 ￾ 1 − x 2
m/2 P (m) l (x). ❢➦➧ c1 = (−) m ❂ ❅➨❺❻❽❵➩■ P m l (x) ❂ P m l (x) = (−) m ￾ 1 − x 2
m/2 P (m) l (x),