·96· 北京科技大学学报 2004年第1期 假设2,4的边界值相差Az周期的整数，则 可以简化为： A水=Ak. 7A=-W (7 (3)基本参数.板坯的断面为250mm×1000 其中， J=E+vxrotA (⑧) mm,线圈电流1为5kA,频率f为1Hz,m=2,w=3, 所以： VA=-uJ=(E+vxrotA) (9) K-0.6,p=2,9=0.02m. 对于平面场，A只有一个分量A2,v只有一个分量 y,且=2f1-3)(s为滑差率，d为极距)，则： 2基本原理 aA红k V0=:-=- 21电磁场的数学描述 (ixi=0;ixj=k) (10) Maxwell方程组是研究一切电磁现象的基 假设A仅在z方向上，则激励磁势可表示为： 石，它主要有四大定律组成：高斯定理、法拉第电 A(xy,t)A(y)ex=Az (11) 磁感应定律、安培环路定律和无磁单极法则. 对于(n.0=jA6中=jd (12) 了×H=J+ aD 驶-培40e-骨 (13) VxE-- B (1) 将(10(13)代入(9)得： 7.B=0 整+誥-减at+2-(-骨M-o 7.D=p (14) 另外，还有三个辅助方程用于表征电场和磁 此式就是适用于此例的电磁场的二维表达式. 场间有关的物理量的关系： 22电磁场方程的变分及离散化 D=EE 对于一般的电磁场问题可用二阶势函数和 B=uH (2) 边界条件来表示， J.=yE 二阶势函数： 由Maxwell方程组可以看出，电磁变量是相 互交织在一起的，这样给数值求解带来了难度. -7.(k7pta肿=q(∈w) (15) 狄利克莱条件： 为此，笔者通过定义一个标量电势和一个矢量磁 中=g(∈) (16) 势的方法（一中法），将电场变量和磁场变量分 诺伊曼条件： 开，形成两个独立的电场和磁场偏微分方程，以 (k7φ)n+o冲=h(∈I) (17) 便于数值计算， 引入矢量磁势A(单位为b/m)和标量电势 其中，g,h,o为位置的一般函数，m为边界曲面的 外向单位法向量，·是狄利克莱边界，T2是诺伊 中（单位为V): 曼边界.对于此类问题的泛函形式为： B=V×A (3) B=-0-沿 (4) F=vd0+号J0d0 根据此条件，可以推导出形式上完全对称的 00+号o0-201r (18) 电场和磁场势函数方程. 对于所研究的问题，k=1,a=4osj@,9=0,c=0,h= 02A 72A-46济=-W (5) 一H,则： .02Φ 7中-u6=49 (6) F4)= 由(5)，(6)两式可以看出，这两个方程将电势 2∬4r∫HAd (19) 和磁势分开表示，并且有对称的形式，给求解带 经离散化处理后，整个场域内的能量泛函可以表 来了方便.式（⑤）表明磁势由电流激励J产生，且 示为遍及所有三角元的能量泛函的总合，若有 是时间、位置和材料的函数：式(6)表明电势由电 个单元，个节点，则泛函的形式可以表示为： 荷激励ρ产生，且是时间、位置和材料的函数. F0=F.d=FA,A,…,Ao) (20) 就导电媒质中的电磁场而言，分析时一般忽 而变分问题即被离散化为一多元函数的极值问 略其中位移电流的影响，也就是说，是在似稳场 题： 的条件下考虑闭.当不考虑位移电流项时，式（⑤） F(A)=FA,AzA)=min (21). , 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 4 年 第 1期 假 设 2, 4 的边 界值 相 差 zA 周 期 的整数 , 则 A lz , = Ajz , . (3 ) 基 本 参数 . 板 坯 的断 面为 2 50 ~ xl 0 0 ~ . 线 圈 电流 I 为 s kA , 频 率厂为 1 12 , m =2 , w “ 3 , wK 司 . 6 , P = 2 , q = 0 . 02 m . 可 以简化为 : 甲讨 = 一时 ( 7) 其 中 , J = E 十 vx or 以 ( 8) 所 以 : 甲切 = 一尸J = 伍+ vx r o 叼 ) ( 9) 对 于 平 面场 , A 只 有 一 个分 量 zA , v 只 有 一个 分 量 从 , 且 vx = 2 fd( 1一 s) s( 为滑 差 率 , d为 极距 ) , 则 : 2 基 本原 理 .2 1 电磁场 的数 学 描 述 M ax we n 方 程 组 是 研 究 一 切 电磁 现 象 的基 石 , 它主 要有 四大定 律组 成 : 高斯 定理 、 法 拉第 电 磁感应 定 律 、 安培环 路 定 律和 无磁 单 极法 则 . vx( ; 、 ) 一 vxj 带 一 知一 i( x i = 0 ; i寸= k) 带 ( 10 ) 假 设 A 仅在 z 方 向上 , 则 激励 磁 势可 表 示为 : A x( 少 , t) A切少 卜 sx) = 力 : l( 1) , xH 一 ; , 架 “ 一餐 ( l ) 对 于 ( 1 1) , 鲁 一 j浏、 。 , 一 j诚 会一翻动砂 一和 一和 · 将 ( 10 H 13 )代入 ( 9 )得 : ( 12 ) ( 13 ) V · B二 0 甲 · D = P 会会 一 、 “ +&f2z ` 一 s)( 一枷” · 、 cojz 另外 , 还 有 三个 辅助 方程 用 于表 征 电场 和磁 场 间有 关 的物 理量 的关系 : 「D = ￡百 B = 户H 丈 = yE ( 2 ) 由 M ~ n 方 程 组可 以看 出 , 电磁 变 量是 相 互交 织在 一起 的 , 这 样给 数值 求 解 带来 了难 度 . 为此 , 笔 者通 过定 义一 个标 量 电势和 一个 矢 量磁 势 的方 法 “ 一 功法 ) , 将 电场 变 量和 磁 场变 量 分 开 , 形成 两 个独 立 的 电场 和磁 场 偏微 分 方程 , 以 便于 数值 计 算 . 引入矢 量磁 势月 ( 单 位 为 从飞八n ) 和标量 电势 价( 单位 为 V ) : B = 甲 x A ( 14 ) 此 式 就 是适 用于 此 例 的 电磁 场 的二 维表达 式 . .2 2 电磁 场方 程 的变 分及 离 散 化 对 于 一般 的 电磁 场 问题 可 用 二 阶势 函数 和 边 界条 件来表 示 . 二 阶势 函数 : 一 甲 · (k 口价) 十砂 = 叮 (任 . ) ( 15 ) 狄 利克 莱 条件 : 价= g (任厂 ) ( 16 ) 诺 伊曼 条件 : (k甲价) · n’ + 呻 = h (任几 ) ( 17 ) 其 中 , g , h , 。 为位 置 的一般 函数 , 从为边界 曲面 的 外 向单 位 法 向量 ,几 是 狄 利 克莱边 界 , 几 是 诺伊 曼边 界 . 对 于此 类 问题 的泛 函形 式为 : E = 一 甲沪一 尸一 告否, ? 币翻号丁和 - 根据 此条 件 , 可 以推 导 出形 式上 完全 对 称 的 电场 和磁场 势 函 数 方程 . 去帅。号吏 〔命 一喇dr 、少. 夕 (34 一斤A 口ō,` ( 18 ) 。 一 ,杂一、 。 一 嚼 一 、 对 于 所研 究 的 问题 , k = 1 , a 二户呵。 , q = 0 , a = 0 , h = 一鱿 则 : 由 (5) , (6 ) 两式可 以看 出 , 这两 个方 程将 电势 和磁 势 分 开表 示 , 并 且有 对称 的形式 , 给求 解 带 来 了方 便 . 式 (5) 表 明磁势 由电流 激励 J 产 生 , 且 是 时 间 、 位 置 和材 料 的 函数 ; 式 (6) 表 明 电势 由 电 荷 激 励 p 产 生 , 且 是 时 间 、 位 置 和材料 的 函数 . 就 导 电媒质 中的 电磁 场 而言 , 分析 时一 般 忽 略其 中位 移 电流 的 影响 , 也就 是 说 , 是 在似 稳场 的条 件下 考 虑 。 , . 当不考 虑 位移 电流项 时 , 式 ( 5) 形 , 一 命琴 〔带 4嚼 )] dxw 缨万 A娜矛洲dsz ` 、尹.. J ù 了`U 、 . ( 19 ) 经 离散化 处理 后 , 整 个场域 内的能量 泛 函可 以表 示 为遍 及所 有 三角元 的能 量泛 函的 总合 . 若 有 e0 个 单元 , n0 个 节 点 , 则泛 函 的形 式可 以表 示 为 : 形) 丙 丙 二 艺凡(A 卜月注 : , 瓜 , …户游 ( 2 0 ) 而 变分 问题 即被 离 散 化 为 一多 元 函数 的极 值 问 题 : 月刁) 二 侧月 l, 斑’, 方刃 = m in (2 l)