方程(2)可化为 Legendre方程,(-x2)y”-2xy1+1(+1)y=0 它与自然边界条件O,O(丌)有界,即y(x)有界,构成本征值问题。 其本征值和本征函数分别为l1+1),y(x)=P(x)(=0,12,…) 其中x=cosO,O(O)=y(x) 方程(1)与边界条件R=0≠四,R=b=0构成本征值问题, 1+1/2) (+1/2) 其本征值和本征函数分别为A=n b R,(r)=ji b (n=12,3,…)其中,x2)是J2(x)的正零点 对应本征值=元,由方程T+a2r=0解得 因此,定解问题的一般解为 u(r, 0, 0)=22Awi/hr p,(cos e)e 由条件叫=0=f()cosb,得 +1/2 f(rcos 8 由=8D可以确定1=1,因此,有∑4x)=( f(r) b -a=o/2)) (r,,1)=∑A1 cosb.e方程（2）可化为 Legendre 方程，(1 ) 2 ( 1) 0 2 − x y′′ − xy′ + l l + y = 它与自然边界条件Θ(0),Θ(π )有界，即 1 ( ) x=± y x 有界，构成本征值问题。 其本征值和本征函数分别为 l(l +1)， y(x) P (x) = l (l = 0,1,2,L) 其中 x = cosθ,Θ(θ ) = y(x) 方程（1）与边界条件 , 0 R r=0 ≠ ∞ R r=b = 构成本征值问题， 其本征值和本征函数分别为 2 ( 1/ 2)         = = + b x l n λ λnl ，         = + r b x R r j l n nl l ( 1/ 2) ( ) ， （ n = 1,2,3,L） 其中， (l+1/ 2) n x 是 ( ) 1/ 2 J x l+ 的正零点 对应本征值λ = λnl ，由方程 ' 0 2 T +a λT = 解得 ( ) x t b a nl a t nl nl l n n T A e A e 2 ( 1 / 2 ) 2 2 2 + − − = = λ 因此，定解问题的一般解为 ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = − + +         = 0 1 1/ 2 2 ( 1 / 2 ) 2 2 ( , , ) (cos ) l n x t b a l l n nl l l n r P e b x u r θ t A j θ 由条件u t=0 = f (r) cosθ ，得 (cosθ ) ( ) cosθ 0 1 1/ 2 r P f r b x A j l n l l n nl l =         ∑∑ ∞ = ∞ = + 由 P1 = cosθ 可以确定l = 1, 因此，有∑ ∞ = =        1 (3/ 2) 1 1 ( ) n n n r f r b x A j ∫                 = b n n n r r dr b x f r j r b x j A 0 2 (3/ 2) 2 1 (3/ 2) 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∞ = − ⋅ ⋅         ∴ = 1 (3/ 2) 1 1 2 (3 / 2) 2 2 ( , , ) cos n x t b a n n n r e b x u r θ t A J θ