证:若是一一映射,设σ(x)=0,根据线性变换性质(1)x=0 反之,若Ker(a)={0},假设存在x1,x2∈V使得σ(x1)=σ(x2),则根据线性变换的条件,有 0=0(x1)-0(x2)=a(x1-x2) 因x1-x2∈Ker(a)即x1=x2,说明σ是单射的,同时σ:V→V,又是满射,因此a是一一映射 5.12线性变换的运算 定义5.3.设σ,T是数域F上线性空间V的任意线性变换,定义σ+τ为V→V的映射,且 x∈V,(σ+r)(x)=a(x)+T(x) 同时,对任意的c∈F,定义c是V→V的映射: vx∈V,(co)(x)=ca(x) 定义5.3给出了线性变换间的加法和数乘运算,根据定义易证线性变换的和与数乘也是线性变换即满足线 性变换的线性条件 对任意的x,y∈V和c,d∈F,有 (a+7)(x+y)=a(x+y)+r(x+y) g(x)+y)+T(x)+Ty (a+7)(x)+(a+r)(y) (co)(dx)= co(dx)=cdo(x)=dco(x)=d(co)(x) 关于线性空间V上线性变换定义集合L(V)={|是V的线性变换},则有 定理5.13.L(V)关于定义5.3中的线性变换间的加法和数乘构成线性空间. (留给读者证明) 定义54.设A是数域F上的线性空间,在A上定义“乘法”运算,用符号“”表示,事实上“”A×A→A.它使得 时A中的任意元素a,B,和数c∈F,满足以下条件 (1)“乘法”成立结合律即a·(B·)=(a·B) (2)A中存在元素e,使得e·a=a·e=a. (3)“乘法”成立分配律,即 a·(B+)=a:B+a:, (左分配律) (B+7)a=B.a+y·a (右分配率) (ca)·B=c(a·B)=a(c 则称A是数域F上的代数,而元素e称为A的恒等元 有时常用“1表示恒等元,但注意与数域F中的1的区别 定义55.对线性空间L(V)定义线性变换的“乘法”即vU,r∈L(V) (r(·) 定理5.14.设V是数域F上的线性空间,则L(V)是F上的代数证: 若 σ是一一映射, 设 σ (x) = 0, 根据线性变换性质(1)x = 0. 反之, 若 Ker (σ) = {0}, 假设存在 x1, x2 ∈ V 使得 σ (x1) = σ (x2), 则根据线性变换的条件, 有 0 = σ (x1) − σ (x2) = σ (x1 − x2) 因 x1 − x2 ∈ Ker (σ) 即 x1 = x2, 说明 σ 是单射的, 同时σ : V 7→ V , 又是满射, 因此σ是一一映射. 5.1.2 线性变换的运算 定义 5.3. 设 σ, τ是数域F上线性空间V 的任意线性变换, 定义 σ + τ 为 V 7→ V 的映射, 且 ∀x ∈ V, (σ + τ ) (x) = σ (x) + τ (x) 同时, 对任意的c ∈ F, 定义 cσ 是 V 7→ V 的映射: ∀x ∈ V, (cσ) (x) = cσ (x) 定义5.3给出了线性变换间的加法和数乘运算, 根据定义易证线性变换的和与数乘也是线性变换,即满足线 性变换的线性条件: 对任意的x, y ∈ V 和c, d ∈ F, 有 (σ + τ ) (x + y) = σ (x + y) + τ (x + y) = σ (x) + σ (y) + τ (x) + τ (y) = (σ + τ ) (x) + (σ + τ ) (y) (cσ) (dx) = cσ (dx) = cdσ (x) = dcσ (x) = d (cσ) (x) 关于线性空间V 上线性变换定义集合L(V ) =  σ  σ是V 的线性变换 , 则有 定理 5.1.3. L(V )关于定义5.3中的线性变换间的加法和数乘构成线性空间. (留给读者证明) 定义 5.4. 设A是数域F上的线性空间, 在A上定义“乘法”运算, 用符号“·”表示, 事实上“·”: A × A 7→ A. 它使得 对A中的任意元素α, β, γ 和数c ∈ F, 满足以下条件: (1) “乘法”成立结合律, 即α · (β · γ) = (α · β) · γ; (2) A中存在元素e, 使得e · α = α · e = α. (3) “乘法”成立分配律, 即 α · (β + γ) = α · β + α · γ, (左分配律) (β + γ) · α = β · α + γ · α, (右分配率) (cα) · β = c (α · β) = α · (cβ) 则称A是数域F上的代数, 而元素e称为A的恒等元. 有时常用“1”表示恒等元, 但注意与数域F中的1的区别. 定义 5.5. 对线性空间L(V ) 定义线性变换的“乘法”, 即∀σ, τ ∈ L(V ), σ · τ = σ (τ (•)) 定理 5.1.4. 设V 是数域F上的线性空间, 则L(V )是F上的代数. 3