证:验证L(V)上关于线性变换的乘法满足定义54中的三个条件 (1)对V,T,丌∈L(V),有 (a·r)·丌=(a·T)(丌(·)=0((丌(·)=a(x:丌)(·)=σ·(T (2)L()中元素V上的恒等变换“1y”即为e,且对va∈V,满足1v:σ=σ·1v=σ,因此恒等变换 是L(V)的恒等元 (3)对v0,r,丌∈L(V),有 (r+丌)()=a((7+丌)(·)=a(7(·)+丌(·) =a(7()+a(丌(·)=(a·T)(·)+(a:丌)() 由此左分配律成立即a·(T+丌)=σ·T+σ·π.同理可证明右分配律成立 对vc∈F,0,T∈L(V,有 [(ca)·](·)=(co)(r(·)=co(x()=c(·T)() 从而,(co)·T=c(σ·T)成立.同理可证a·(r)=c() 综上所述,L(V)是F上的代数 例7.设0,为R2空间上的线性变换,分别定义如下 y 求a=[-32在变换a,T和r·a下的像 解:根据变换的定义先求出变换乘积 =((])=(2)=[D 将a代入,得变换口下的像为[25],在下的像为[-53 下面定义线性变换的幂运算,即对va∈L(V) 1v(V上的恒等变换) n∈N+ 根据L(V)上的乘法成立结合律,可证明L(V)上的幂运算成立指数律,即对vn,m∈N,有 对于数域F上的任意多项式 f(r) t alI+a2I"+.+anI 根据它,可定义线性变换的多项式 f()=a1v+a10+a202+…+anon 若σ是一一映射,则变换σ可逆,记为σ-1,又称它为σ的逆变换.显然,它们也是V→V的自同构映射.因而在σ可 的前提下,可定义它的负数次暴:o-n=(0-1) 因L(V)上的乘法一般不满足交换律,所以a,T∈L(V),一般a:T≠T·0,且(·r)≠σ"rn;若σ,T都可逆,则 有:(0r)-1=r-1·a-1;对于非零数k∈F有:(ka)-1=k-1-1(这些结论读者自行证明)证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π) (•)) = σ · (τ · π) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ, 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π)] (•) = σ ((τ + π) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π) (•) 由此左分配律成立,即 σ · (τ + π) = σ · τ + σ · π. 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ) · τ ] (•) = (cσ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ·). 综上所述, L(V )是F上的代数. 例 7. 设σ, τ为R 2空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀  x y  ∈ R 2 , σ  x y  =  x x − y  , τ  x y  =  y x  求 α = −3 2 T 在变换 σ · τ 和τ · σ 下的像. 解: 根据变换的定义先求出变换乘积, σ · τ = σ  τ  x y  = σ  y x  =  y y − x  τ · σ = τ  σ  x y  = τ  x x − y  =  x − y x  将α代入, 得变换σ · τ下的像为 2 5 T , 在τ · σ下的像为 −5 3 T . 下面定义线性变换的幂运算, 即对∀σ ∈ L(V ) σ 0 = 1V (V 上的恒等变换) σ n+1 = σ n · σ, n ∈ N + 根据L(V )上的乘法成立结合律, 可证明L(V )上的幂运算成立指数律, 即对∀n, m ∈ N, 有 σ n · σ m = σ n+m, (σ n ) m = σ nm (5.2) 对于数域F上的任意多项式: f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n 根据它, 可定义线性变换的多项式: f(σ) = a01V + a1σ + a2σ 2 + · · · + anσ n 若σ是一一映射, 则变换σ可逆, 记为σ −1 , 又称它为σ的逆变换. 显然, 它们也是V 7→ V 的自同构映射. 因而在σ可 逆的前提下, 可定义它的负数次幂:σ −n = ￾ σ −1
n . 因L(V )上的乘法一般不满足交换律, 所以 σ, τ ∈ L(V ), 一般 σ · τ 6= τ · σ, 且 (σ · τ ) n 6= σ nτ n; 若σ, τ都可逆, 则 有:(σ · τ ) −1 = τ −1 · σ −1 ; 对于非零数k ∈ F有: (kσ) −1 = k −1σ −1 .(这些结论读者自行证明) 4