52线性变换与矩阵 下面研究线性变换与矩阵之间的关系 521线性变换的矩阵表示 设V是数域F上的n维线性空间,9={1,=2,…,n}是V的基,则对x∈V可表示成x=∑s,考 察V上的线性变换a有 Tio(Ei) 可见,V中任意向量在线性变换下的像可表示为V中的基在线性变换下的像的线性组合因是V到V的线性变 换,因此a(E)(=1,2,,n)在基9下可表示成 [o()σ(=2)…a(sn)]=[e1e2 a21a22 上式中矩阵的第列向量a,事实上是(=)在基下的坐标,按上一章中坐标的记法,如向量x在基下的 坐标表示为区x]g,可将矩阵[]记为[o(g,则V中任意向量x经线性变换a后的像可表示成 a(x)=0[a(9{x]9 (54) 由式(54)可知,当V选定基以后,V上的线性变换与矩阵[(2)9对应.由任意向量在基下表示的唯一性,线 性变换对应的矩阵[(是唯一的.反之,对于n阶方阵A∈Fx是否唯一对应一个线性变换?下述定理 说明结论是成立的 定理5.2.1.数域F上的n维线性空间V,对A∈Fnxn都存在V上唯一的线性变换与之对应 证:设9={=1,E2,…,n}是线性空间V的基,对vA∈F按下列方式构造一组向量 其中a;为矩阵A的第j列向量,从向量构造形式看就是将矩阵A的第j列向量视作a;在基9下的坐标 由坐标的唯一性可知,向量组a(=1,2,…,n)由矩阵A唯一确定.同时,对V的任意向量x,在基下 的坐标表示为区x]ys,即x=区x]现定义V上的变换a,它满足下列条件,对vx∈V有 (x)=[ C1 (2 J x]o=2A(x (5.6) 利用[]9是V上的同构映射,对x,y∈V,有 d(x+y)=[ an]((xlg+[ylg)=a(x)+o(y) 同理,对vk∈F, (kx)=[ a1 (2 就证明了σ是V上的线性变换若令x=则区x]9=e,根据定义式(56)有a(=)=ay同样根据 式(56)可知这种对应关系是唯一的 定理5.2.2.数域F上n维线性空间V的所有线性变换构成的线性空间L(V),则L(V)和Fxn同构 根据本节开始的叙述,在选取V的基后,存在一种L(V)到Fnxn的一种一一对应关系,只需证明这种对应关 系同时对线性变换的加法、数乘、乘法和矩阵的加法、数乘、乘法之间满足线性条件.详细证明留作练习 例8.分别求例14中线性变换对应的矩阵5.2 线性变换与矩阵 下面研究线性变换与矩阵之间的关系. 5.2.1 线性变换的矩阵表示 设V 是数域F上的n维线性空间, B = {ε1, ε2, . . . , εn} 是V 的基, 则对∀x ∈ V 可表示成 x = Xn i=1 xiεi , 考 察V 上的线性变换 σ 有: σ (x) = Xn i=1 xiσ (εi) 可见, V 中任意向量在线性变换下的像可表示为V 中的基在线性变换下的像的线性组合. 因σ是V 到V 的线性变 换, 因此σ (εi)(i = 1, 2, . . . , n) 在基B下可表示成 σ (ε1) σ (ε2) · · · σ (εn) = ε1 ε2 · · · εn      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann      (5.3) 上式中矩阵[aij ]的第j列向量aj事实上是σ (εj )在基 B下的坐标, 按上一章中坐标的记法, 如 向量x在基B下的 坐标表示为 [x]B, 可将矩阵[aij ] 记为 [σ (B)]B, 则V 中任意向量x 经线性变换 σ后的像可表示成: σ (x) = B [σ (B)]B [x]B (5.4) 由式(5.4)可知, 当V 选定基B以后, V 上的线性变换与矩阵 [σ (B)]B对应. 由任意向量在基下表示的唯一性, 线 性变换σ对应的矩阵[σ (B)]B是唯一的. 反之, 对于n阶方阵A ∈ F n×n 是否唯一对应一个线性变换? 下述定理 说明结论是成立的. 定理 5.2.1. 数域F上的n维线性空间V , 对∀A ∈ F n×n 都存在V 上唯一的线性变换与之对应. 证: 设 B = {ε1, ε2, . . . , εn} 是线性空间V 的基, 对∀A ∈ F n×n 按下列方式构造一组向量 αj = Baj , j = 1, 2, . . . , n (5.5) 其中 aj为矩阵A的第j列向量, 从向量构造形式看就是将矩阵A的第 j 列向量视作 αj 在基B下的坐标. 由坐标的唯一性可知, 向量组αj (j = 1, 2, . . . , n)由矩阵A唯一确定. 同时, 对V 的任意向量x, 在基B下 的坐标表示为[x]B, 即x = B [x]B. 现定义V 上的变换σ, 它满足下列条件, 对∀x ∈ V 有 σ (x) = α1 α2 · · · α3 [x]B = BA [x]B (5.6) 利用[•]B是V 上的同构映射, 对∀x, y ∈ V , 有 σ (x + y) = α1 α2 · · · αn [x + y]B = α1 α2 · · · αn ([x]B + [y]B) = σ (x) + σ (y) 同理, 对∀k ∈ F, σ (kx) = α1 α2 · · · αn [kx]B = k α1 α2 · · · αn [x]B = kσ (x) 这就证明了 σ 是V 上的线性变换. 若令x = εj , 则[x]B = ej , 根据定义式(5.6)有 σ (εj ) = αj . 同样根据 式(5.6)可知这种对应关系是唯一的. 定理 5.2.2. 数域F上n维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间L(V ), 则 L(V )和F n×n 同构. 根据本节开始的叙述, 在选取V 的基后, 存在一种L(V )到F n×n的一种一一对应关系, 只需证明这种对应关 系同时对线性变换的加法、数乘、乘法和矩阵的加法、数乘、乘法之间满足线性条件. 详细证明留作练习. 例 8. 分别求例1—4中线性变换对应的矩阵. 5