解:(1)对例1定义的线性变换σ,取V的基={1,E2,…,En},则有 [o(1)o(2)…a(=n)]=[c1c2 CEn=BcE 对应矩阵为cE (2).选取空间F]n的基为={1,x,x2,…,x},则 d 0 =9D 0 则D为线性变换d/dx对应的矩阵 (3).取 0 0 为R2的基,在线性变换∫下有 0 则矩阵f为线性变换∫对应的矩阵 取二维几何空间中的标准正交向量,为基,实施旋转变换oe后 为2,了(如图) o((]=[j cos 6 ng cos e 小节建立了线性变换与矩阵之间的联系,即线性变换与矩阵之间一一对应,从而可通过矩阵工具来研究 线性变换 522线性变换在不同基下的矩阵间的关系 上一小节讨论了线性空间V中的任意线性变换在选定基以后与矩阵唯一对应本节将讨论若选择不同的 基,则与线性变换相应的矩阵之间有怎样的关系? 定理523.设仍1= an}和92={B1,B2,…,Bn}为数域F上的n维线性空间V的两个基,σ为V 上的任意线性变换,则在两个基下对应的矩阵[(1)9,[u(2),之间成立下列关系 (1)g,=M[(四2月9,M (5.8) 其中M是基92到91的过渡矩阵 证:Wx∈V,根据式(54),在基1,2下有 (x)=91(51)s2xm1=52(032)g2x8 由M为92到1的过渡矩阵,有91M1=92及两个基下坐标之间转换关系区x],=M区xg,将它 们代入上式中,得 91{(1)g2xgs1=01M-(2)s2Mxg1 由91为V的基和向量x的任意性,得到解: (1) 对例1定义的线性变换σ, 取V 的基B = {ε1, ε2, . . . , εn}, 则有 σ (ε1) σ (ε2) · · · σ (εn) = cε1 cε2 · · · cεn = BcE 对应矩阵为cE. (2). 选取空间F[x]n的基为 B =  1, x, x2 , · · · , xn ,则  d dx (1) d dx (x) d dx ￾ x 2
· · · d dx (x n )  = 1 x x2 · · · x n         0 1 0 · · · 0 . . . 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 n 0 0 · · · · · · 0         = BD 则D为线性变换d/dx对应的矩阵. (3). 取B =  1 0  ,  0 1  为 R 2的基, 在线性变换f下有  f  1 0  f  1 0   =  1 0 0 1   2 0 3 −2  = Bf 则矩阵f为线性变换f对应的矩阵. (4). ~i ~j ~i 0 ~j 0 θ 取 二 维 几 何 空 间 中 的 标 准 正 交 向 量~i,~j为 基, 实 施 旋 转 变 换σθ后 为~i 0 ,~j 0 (如图) h σθ  ~i  σθ  ~j  i = ~i ~j  cos θ − sin θ sin θ cos θ  (5.7) 这小节建立了线性变换与矩阵之间的联系, 即线性变换与矩阵之间一一对应, 从而可通过矩阵工具来研究 线性变换. 5.2.2 线性变换在不同基下的矩阵间的关系 上一小节讨论了线性空间V 中的任意线性变换在选定基以后与矩阵唯一对应. 本节将讨论若选择不同的 基, 则与线性变换相应的矩阵之间有怎样的关系? 定理 5.2.3. 设B1 = {α1, α2, . . . , αn} 和 B2 = {β1, β2, . . . , βn} 为数域F上的n维线性空间V 的两个基, σ 为 V 上的任意线性变换, 则σ在两个基下对应的矩阵[σ (B1)]B1 , [σ (B2)]B2之间成立下列关系: [σ (B1)]B1 = M−1 [σ (B2)]B2 M (5.8) 其中M是基B2到B1的过渡矩阵. 证: ∀x ∈ V , 根据式(5.4), 在基B1, B2 下有 σ (x) = B1 [σ (B1)]B1 [x]B1 = B2 [σ (B2)]B2 [x]B2 由M 为B2到B1的过渡矩阵, 有B1M−1 = B2 及两个基下坐标之间转换关系 [x]B2 = M[x]B1 , 将它 们代入上式中, 得 B1 [σ (B1)]B1 [x]B1 = B1M−1 [σ (B2)]B2 M[x]B1 由B1为V 的基和向量x的任意性, 得到 [σ (B1)]B1 = M−1 [σ (B2)]B2 M 6