定义56.设A,B∈FnXn,若存在可逆矩阵P∈FXn使得 PAP=B 则称矩阵A相似于B,记为A~B 将相似视作Fnxn上矩阵之间的关系,它具有下述性质:A,B,C∈Fnx (1)自反性,设E为F上的单位矩阵,使得E-1AE=A,即A~A 2)对称性若A~B,则存在可逆矩阵P使得PAP=B,而A=(P1)BP-,即B~A (3)传递性,若A~B,B~C,则存在可逆矩阵P,Q,使得P-1AP=B和Q-1BQ=C,则 (PQ)-A(PQ)=C.即A~C 因此矩阵的相似关系是FnXm上的一种等价关系.如果不考虑线性变换的基的选择,则一个线性变换对 应Fn×中的一个相似等价类 例9.设1={=1,E2,E3}和92={m,m,m3}为线性空间R3的两个基,从01到B2的过渡矩阵M为 即92=男1M R3上线性变换在基91的矩阵为 (1)s1=320 123 求a在基92下对应的矩阵 解因(1)g1=M(92)lg2M-1,所以 100 0-11「1001「0-1-1 (92)2=110 320 10 531 例10.面上的旋转变换在标准正交基B1={(下的矩阵如式57所示基2={,其中=+ b=1-2j,求旋转变换在基92下的矩阵 解:根据题意有:92=91M,其中 e(2)s2=M(2)22M 1「2 1「3cos-sin65sin 2sin6 3 cos 6+ sin 0 上述建立了同一变换在不同基下的矩阵表示之间的相似关系.反之,两个相似的矩阵也可以理解为 性变换在不同基下的表示.对于一个线性变换σ,如何寻找适当的基,使得它在这组基下的矩阵表示具有间单的 形式,这将是下一节讨论的问题 53特征值和特征向量 5.31不变子空间 利用线性变换可生成子空间,如线性变换的核和像.反之,与子空间相关的线性变换也会提供一些重要信 息,例如:哪些子空间在线性变换下的具有不变性.下面先给出不变子空间的定义定义 5.6. 设A, B ∈ F n×n, 若存在可逆矩阵P ∈ F n×n使得 P −1AP = B (5.9) 则称矩阵A相似于B, 记为A ∼ B 将相似视作F n×n上矩阵之间的关系, 它具有下述性质:∀A, B, C ∈ F n×n (1) 自反性, 设E为F上的单位矩阵, 使得E−1AE = A, 即A ∼ A. (2) 对称性, 若A ∼ B, 则存在可逆矩阵P, 使得P−1AP = B, 而A = ￾ P−1
−1 BP−1 , 即 B ∼ A. (3) 传递性, 若A ∼ B, B ∼ C, 则存在可逆矩阵 P, Q, 使得 P−1AP = B 和Q−1BQ = C, 则 (PQ) −1 A (PQ) = C, 即 A ∼ C. 因此矩阵的相似关系是F n×n上的一种等价关系. 如果不考虑线性变换的基的选择, 则一个线性变换对 应F n×n中的一个相似等价类. 例 9. 设B1 = {ε1, ε2, ε3} 和 B2 = {η1, η2, η3} 为线性空间R 3的两个基, 从B1到B2的过渡矩阵M为 M =   1 0 0 1 1 0 1 1 1   , 即 B2 = B1M R 3上线性变换σ在基B1的矩阵为 [σ (B1)]B1 =   1 0 −1 3 2 0 −1 2 3   求σ在基B2下对应的矩阵. 解: 因[σ (B1)]B1 = M[σ (B2)]B2 M−1 , 所以 [σ (B2)]B2 =   1 0 0 1 1 0 1 1 1   −1   1 0 −1 3 2 0 −1 2 3     1 0 0 1 1 0 1 1 1   =   0 −1 −1 5 3 1 −1 3 3   例 10. 平面上的旋转变换在标准正交基B1 = n ~i,~j o 下的矩阵如式(5.7)所示, 基B2 = n ~a,~b o , 其中 ~a = ~i + ~j, ~b =~i − 2~j, 求旋转变换在基B2下的矩阵. 解: 根据题意有: B2 = B1M, 其中 M =  1 1 1 −2  则 [σθ (B2)]B2 = M−1 [σθ (B2)]B2 M = 1 3  2 1 1 −1   cos θ − sin θ sin θ cos θ   1 1 1 −2  = 1 3  3 cos θ − sin θ 5 sin θ −2 sin θ 3 cos θ + sin θ  上述建立了同一变换在不同基下的矩阵表示之间的相似关系. 反之, 两个相似的矩阵也可以理解为同一线 性变换在不同基下的表示. 对于一个线性变换σ, 如何寻找适当的基, 使得它在这组基下的矩阵表示具有间单的 形式, 这将是下一节讨论的问题. 5.3 特征值和特征向量 5.3.1 不变子空间 利用线性变换可生成子空间, 如线性变换的核和像. 反之, 与子空间相关的线性变换也会提供一些重要信 息, 例如: 哪些子空间在线性变换下的 具有不变性. 下面先给出不变子空间的定义. 7