定义57.设σ是线性空间V上的线性变换,S是V的子空间,若S在变换σ下的像a(S)S,则称S是σ不变子 例11.线性变换a的核五er(o)和像Im()是σ-不变子空间 例12.设是V上的数乘变换,即存在常数c0(x)=cx,则V的任意子空间均是a-不变子空间 定理531.S是n维线性空间V上线性变换σ的不变子空闻,设S的基为9s={=1,∈2,…,Er}(0<r<n).将它 扩充成V的基v={=1,e2,…,Er,Er+1,…,En}=[9sg],则在基v下的矩阵具有下列形状 a11a12 a1(r+1) arr ar(r+1) 0a(r+1(x+1) 00 证:因S是a的不变子空间,则 a(1)a(e2) (=r)]=98 (=r)]=[s|9E 其中 a11 aIr 1(7+1) a(r+1)(r+1) A1= an(r+1) 则 [a(1) 0 A 反之,若矩阵具有式(5.10)形式,因矩阵与线性变换之间一一对应,则与该矩阵对应的线性变换必存在不变 子空间 推论1.设V=V⊕V且V1,V都是线性变换的不变子空间,若V的基为1={a1,a2,…,ar},V2的基 为2={B1,B2,…,Bn-r},则在基={51,92}下的矩阵形式为 类似定理53.1即可证明 例1.口为R的线性换在基9={,2下的变换矩阵为22-1今=2=日1+2+23 且S=span{B1,B2}.求证:S是变换o的不变子空间 证:易证,B1,B2线性无关,构成S的一组基 31-1 0 (61)=9(9)s1ls=922-10= B2∈S 220 0()=(91B2=22-11 262∈S 220 对vx∈S,x=x1B1+x2B2,则 a(x)=x10(1)+x2a(B2)=2x11+(2x2-x1)B2∈S 因此S是a不变子空间 下面讨论在给定线性变换对应的矩阵后,如何寻找它的不变子空间定义 5.7. 设σ是线性空间V 上的线性变换, S 是V 的子空间, 若S在变换σ下的像 σ (S) ⊆ S, 则称 S 是σ-不变子 空间. 例 11. 线性变换σ的核Ker (σ) 和像Im (σ) 是 σ-不变子空间. 例 12. 设σ是V 上的数乘变换, 即存在常数c, σ (x) = cx, 则V 的任意子空间均是σ-不变子空间. 定理 5.3.1. S是n维线性空间V 上线性变换σ的不变子空间, 设S的基为BS = {ε1, ε2, . . . , εr}(0 < r < n), 将它 扩充成V 的基BV = {ε1, ε2, . . . , εr, εr+1, . . . , εn} = BS BE , 则σ在基BV 下的矩阵具有下列形状:         a11 a12 · · · a1r a1(r+1) · · · a1n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ar1 ar2 · · · arr ar(r+1) · · · arn 0 0 · · · 0 a(r+1)(r+1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 an(r+1) · · · ann         (5.10) 证: 因S是σ的不变子空间, 则 σ (ε1) σ (ε2) · · · σ (εr) = BSAS σ (εr+1) · · · σ (εr) = BS BE  A1 A2  其中 As =   a11 · · · a1r · · · · · · · · · ar1 · · · arr   , A1 =   a1(r+1) · · · a1n · · · · · · · · · ar(r+1) · · · arn   , A2 =   a(r+1)(r+1) · · · a(r+1)n · · · · · · · · · an(r+1) · · · ann   , 则 σ (ε1) · · · σ (εr) σ (εr+1) · · · σ (εn) = BS BE  AS A1 0 A2  反之, 若矩阵具有式(5.10)形式, 因矩阵与线性变换之间一一对应, 则与该矩阵对应的线性变换必存在不变 子空间. 推论 1. 设V = V1 ⊕ V2且V1, V2都是线性变换σ的不变子空间, 若V1的基为B1 = {α1, α2, . . . , αr}, V2的基 为B2 = {β1, β2, . . . , βn−r}, 则σ 在基B = {B1, B2} 下的矩阵形式为  A1 0 0 A2  (5.11) 类似定理5.3.1即可证明. 例 13. σ为R 3的线性变换, 在基B = {ε1, ε2, ε3}下的变换矩阵为   3 1 −1 2 2 −1 2 2 0  , 令β1 = ε3,β2 = ε1 + ε2 + 2ε3, 且 S = span {β1, β2}. 求证: S是变换σ的不变子空间. 证: 易证, β1, β2线性无关, 构成S的一组基. σ (β1) = B [σ (B)]B [β1]B = B   3 1 −1 2 2 −1 2 2 0     0 0 1   = B   −1 −1 0   = 2β1 − β2 ∈ S σ (β2) = B [σ (B)]B [β2]B = B   3 1 −1 2 2 −1 2 2 0     1 1 2   = B   2 2 4   = 2β2 ∈ S 对∀x ∈ S, x = x1β1 + x2β2, 则 σ (x) = x1σ (β1) + x2σ (β2) = 2x1β1 + (2x2 − x1)β2 ∈ S 因此S是σ-不变子空间. 下面讨论在给定线性变换对应的矩阵后, 如何寻找它的不变子空间. 8