532特征值与特征向量 后续的讨论中若无特殊交代,数域F取实数域R.设n维欧式空间R的某个线性变换在选定基下(如自然基 e2,,en)对应的矩阵为A∈Rn,若S是a-不变子空间,则对x∈S,有σ(x)∈S.特别地当dimS=1时, 有a(x)=Ax,其中A∈R.关于如何求线性变换的不变子空间有如下定义 定义5.8.设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换,存在某个数∈F和x∈V,且x≠0.,使得 则称λ为线性变换σ的一个特征值,而称x为关于特征值λ的特征向量 将a关于特征值入的所有特征向量和零向量构成的集合记为VA,即 V={xx∈vAa(x)=Xx} 则关于V有下列性质 定理53.2.由式(5.13)定义的V是V的线性子空间,而且是σ-不变子空间 证:考察线性空间V的加法与数乘在V入上的封闭性,即对x,y∈认和c∈F,有 o(x+y)=o(x)+o(y)=A(x+y)EVA a(cx)=c(x)=A(∞x)∈ 可见V中元素关于加法和数乘是封闭的,因此它是V的子空间.另外,V中任意向量在变换a下的像还 是属于V,即V是a-不变子空间 通常将称为线性变换σ的特征子空间 例14.例5中的镜像变换σ,其中平面L中的点构成a对应特征值为1的不变子空间.而过原点与法向n平行的直 线上的点构成特征值为-1的σ-不变子空间 接下来讨论:给定一个线性变换,如何求它的特征值和特征向量? 根据本章第2节的结论,当n维线性空间V选定一个基后,V上的线性变换与矩阵一一对应,线性变换σ在 基9={=1,E2,……,En}下对应矩阵为[()9s,根据特征值和特征向量的定义,有 2()9x]9=A区x]9 为方便起见,令A=[()]9,而特征向量在基下的坐标用向量X表示,即X=区x],由此得到特征值、特征 向量坐标必须满足下列方程 AX=AX 移项后得 (AE-A)X=0.X≠0 由齐次线性方程组的解理论知,方程组(515)有非零解x≠0,当且仅当rank(E-A)<n或 det(E-A)=0 也就是若入是线性变换的特征值,则它必须满足方程(5.16).将入视作未知量,用f(入)表示行列式det(AE-A) 则称f(入)为矩阵A的特征多项式而f(A)=0的根称为特征根,它们就是矩阵A的特征值 关于特征多项式f()有下述性质: 1)线性变换a的特征多项式f()与基的选择无关 证:因线性变换在不同基下对应矩阵之间的有相似关系(定理523),设在两组不同基下对应的矩阵分 别为A和B,则存在一个可逆矩阵(两个基之间的过渡矩阵)P使得P-AP=B,则 fB(a)=det(AE-B)=det(aP-iP-P-aP)=detP-(E-A)P det(p-)det(P)det(AE-A)=det(AE-A)=fA(A)5.3.2 特征值与特征向量 后续的讨论中若无特殊交代, 数域F取实数域R. 设n维欧式空间R n的某个线性变换在选定基下(如自然基 e1, e2, . . . , en)对应的矩阵为A ∈ R n×n, 若S是σ-不变子空间, 则对 ∀x ∈ S, 有 σ (x) ∈ S. 特别地当dim S = 1时, 有 σ (x) = λx, 其中λ ∈ R. 关于如何求线性变换的不变子空间有如下定义. 定义 5.8. 设σ是数域F上线性空间V 的一个线性变换, 存在某个数λ ∈ F和x ∈ V , 且x 6= 0, 使得 σ (x) = λx (5.12) 则称λ为线性变换σ的一个特征值, 而称x为关于特征值λ的特征向量. 将σ关于特征值λ的所有特征向量和零向量构成的集合记为Vλ, 即 Vλ =  x  x ∈ V ∧ σ (x) = λx (5.13) 则关于Vλ有下列性质: 定理 5.3.2. 由式(5.13)定义的Vλ是V 的线性子空间, 而且是σ-不变子空间. 证: 考察线性空间V 的加法与数乘在Vλ上的封闭性, 即对∀x, y ∈ Vλ和c ∈ F, 有 σ (x + y) = σ (x) + σ (y) = λ (x + y) ∈ Vλ σ (cx) = cσ (x) = λ (cx) ∈ Vλ 可见Vλ中元素关于加法和数乘是封闭的, 因此它是V 的子空间. 另外, Vλ中任意向量在变换σ下的像还 是属于Vλ, 即Vλ是σ-不变子空间. 通常将Vλ 称为线性变换σ的特征子空间. 例 14. 例5中的镜像变换σ, 其中平面L中的点构成σ对应特征值为1的不变子空间. 而过原点与法向 ~n平行的直 线上的点构成特征值为−1的σ-不变子空间. 接下来讨论: 给定一个线性变换, 如何求它的特征值和特征向量? 根据本章第2节的结论, 当n维线性空间V 选定一个基后, V 上的线性变换与矩阵一一对应, 线性变换σ 在 基B = {ε1, ε2, . . . , εn}下对应矩阵为[σ (B)]B, 根据特征值和特征向量的定义, 有 B [σ (B)]B [x]B = λB [x]B 为方便起见, 令A = [σ (B)]B, 而特征向量在基B下的坐标用向量X表示, 即X = [x]B, 由此得到特征值、特征 向量坐标必须满足下列方程 AX = λX (5.14) 移项后得: (λE − A) X = 0, X 6= 0 (5.15) 由齐次线性方程组的解理论知, 方程组(5.15)有非零解x 6= 0, 当且仅当 rank (λE − A) < n 或 det (λE − A) = 0 (5.16) 也就是若λ是线性变换的特征值, 则它必须满足方程(5.16). 将λ视作未知量, 用f (λ) 表示行列式 det (λE − A), 则称f(λ)为矩阵A的特征多项式, 而 f (λ) = 0的根称为特征根, 它们就是矩阵A的特征值. 关于特征多项式f(λ)有下述性质: (1) 线性变换σ的特征多项式f(λ)与基的选择无关. 证: 因线性变换在不同基下对应矩阵之间的有相似关系(定理5.2.3), 设σ在两组不同基下对应的矩阵分 别为A 和B, 则存在一个可逆矩阵(两个基之间的过渡矩阵)P使得 P−1AP = B, 则 fB (λ) = det (λE − B) = det ￾ λP−1P − P−1AP
= det P−1 (λE − A) P = det ￾ P−1
det (P) det (λE − A) = det (λE − A) = fA (λ) 9