解:根据矩阵A有 min ai 1 -3 max a 于是 max( min a)=min( max a)=2 由定义1 VG=2,G的解为(a2,β2),a2,B2分别是局中人I和II的最优纯策略。 从例4可以看出,矩阵A的元素a2既是所在行的最小元素,又是所在列的最大元素,即 a2≤a22≤a2y i=1,2,3,4;j=1,2,3 将这一事实推广到一般矩阵对策,可得如下定理: 定理1矩阵对策G={s、s2;A}在纯策略意义下有解的充要条件是:存在纯局势 (a,b,),使得对一切i=1,2,…,m,j=1,2,…n均有 ≤a,,≤a 证(略) 为了便于对更为广泛的对策情况进行分析,现引进关于二元函数鞍点的概念: 定义2设f(x,y)为一个定义在x∈A及y∈B上的实值函数,如果存在x*∈A,y*∈B,使 得对一切,x∈A和y∈B,有 f(x,y*)≤∫(x*,y*)≤∫(x*,y) 则称(x*,y*)为函数S的一个鞍点 注1.由定义2及定理1可知,矩阵对策G在纯策略意义下有解,且VG=a;r的充要条件是:ar 是矩阵A的一个鞍点。在对策论中,矩阵A的鞍点也称为对策的鞍点。 定理1中或a,≤a≤a;的直观解释是: 如果a…既是矩阵A=(an)mxn中的第i'行的最小值。又是A中第j列的最大值,则a…是对 策的值,且(α,β)就是对策的解,其对策意义是:一个平衡局势(a,β,)应具有这样的 性质,当局中人Ⅰ选取了纯策略α后,局中人Ⅱ为了使其所失最小,只有选择纯策略β,否则就 可能丢的更多:;反之,当局中人Ⅱ选取了纯策略β;后,局中人Ⅰ为了得到最大的赢得也只能选取纯 策略a;。否则就会赢得更少,双方的竞争在局势(a,βj)下达到了一个平衡状态。 例5,设有矩阵对策G={s,sz;A},其中S1={a1,a2,as,al,S2={B,β2,B3,β4}, 贏得矩阵为6 解：根据矩阵 A 有 于是 max(min aij) = min(max aij) = 2 i j j i 由定义 1 VG =2，G 的解为（α2，β2），α2，β2 分别是局中人 I 和 II 的最优纯策略。 从例 4 可以看出，矩阵 A 的元素 a22 既是所在行的最小元素，又是所在列的最大元素，即 ai2  a22  a2 j i=1,2,3,4； j=1,2,3 将这一事实推广到一般矩阵对策，可得如下定理： 定理 1 矩阵对策 G = {s1、s2；A}在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势 ( * , * ) i j a b ，使得对一切 i=1,2,…,m,j=1,2,…,n 均有 ij i j i j a *  a * *  a * 证（略） 为了便于对更为广泛的对策情况进行分析，现引进关于二元函数鞍点的概念： 定义 2 设 f（x，y）为一个定义在 x∈A 及 y∈B 上的实值函数，如果存在 x*∈A，y*∈B，使 得对一切，x∈A 和 y∈B，有 f （x,y*）≤ f （x*,y*）≤ f (x*,y) 则称（x*,y*）为函数 S 的一个鞍点 注 1.由定义 2 及定理 1 可知，矩阵对策 G 在纯策略意义下有解，且 VG =ai*j*的充要条件是：ai*j* 是矩阵 A 的一个鞍点。在对策论中，矩阵 A 的鞍点也称为对策的鞍点。 定理 1 中或 ij i l i j a *  a * *  a * 的直观解释是： 如果 ai*j*既是矩阵 A = aij mn ( ) 中的第 i *行的最小值。又是 A 中第 j *列的最大值，则 ai*j*是对 策的值，且（αi*，βj*）就是对策的解，其对策意义是：一个平衡局势（αi*，βj*）应具有这样的 性质，当局中人 I 选取了纯策略αi*后，局中人Ⅱ为了使其所失最小，只有选择纯策略βj*，否则就 可能丢的更多；反之，当局中人Ⅱ选取了纯策略βj*后，局中人 I 为了得到最大的赢得也只能选取纯 策略αi*。否则就会赢得更少，双方的竞争在局势（αi*，βj*）下达到了一个平衡状态。 例 5，设有矩阵对策 G={s1，s2；A}，其中 1 S ={α1，α2，α3，α4}， 2 S ={β1，β2，β3，β4}， 赢得矩阵为 β1 β2 β3 min aij α1 α2 α3 α4 -7 3 16 -3 1 2 -1 0 -8 4 -3 5 -8 2 -3 -3 max ij a 16 2 5