(5) dS,其中∑是球面x2+y =a: 6/x2+y2+s,其中∑是抛物面2=x2+y2介于平面二=0与二=8之 间的部分; (7)「ds,其中Σ是螺旋面x=vcos,y=usin,z=v,0≤u≤a, 0≤v≤2丌的一部分。 5.设球面∑的半径为R,球心在球面x2+y2+2=a2上。问当R何值时,Σ在球面 x2+y2+z2=a2内部的面积最大?并求该最大面积。 6.求密度为p(x,y)=z的抛物面壳z=(x2+y2),0≤z≤1的质量与重心 7.求均匀球面(半径是a,密度是1)对不在该球面上的质点(质量为1)的引力。 8.设(x,y,-)为连续函数,它在M(x0,y0,0)处有连续的二阶导数。记∑为以M点 为中心,半径为R的球面,以及 4rD fux,y,=)dS (1)证明:limT(R)=(x0,y0,=0); 02u a2ua2u (2)若( ≠0,求当R→0时无穷小量 7(R)-l(x0,y0,=a0)的主要部分 0.设E为上半椭球面2+2+2=1(=20,x为∑在点P(xy,处的切平面 p(x,y,=)为原点O(0,0,0)到平面x的距离,求 ds P(x,y,= 10.设Σ是单位球面x2+y2+2=1。证明 f(ax+by+cr)dS=2r[, f(ua2+b2+c2)du 其中abc为不全为零的常数,f(n)是l√a2+b2+c2上的一元连续函数 11.设有一高度为h()(t为时间)的雪堆在溶化过程中,其侧面满足方程(设长度单 位为cm,时间单位为h) =h(t) 2( h(e 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)。问高度为130cm的雪堆全部 融化需多少时间? 习题14.2 1.求下列第二类曲线积分: (1)∫(x2+y2)+(x2-y2),其中L是以4(10.,B(20)C(2,D(1) 为顶点的正方形,方向为逆时针方向(5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 ； 2 2 2 2 x + y + z = a (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之 间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑ 是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 上。问当 2 2 2 2 x + y + z = a R 何值时，Σ 在球面 内部的面积最大？并求该最大面积。 2 2 2 y 2 x + + z = a 6. 求密度为 ρ( , x y) = z 的抛物面壳 z x = + y ≤ z ≤ 1 2 0 2 2 ( ), 1的质量与重心。 7． 求均匀球面（半径是a ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量为 1）的引力。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处有连续的二阶导数。记∑为以 M 点 为中心，半径为 R 的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当 R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0 ），π 为Σ 在点 P(x, y,z) 处的切平面， ρ(x, y,z) 为原点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫ − Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中 a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连续函数。 11．设有一高度为 （t 为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单 位为 cm，时间单位为 h） h(t) ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − 。 已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9）。问高度为 130cm 的雪堆全部 融化需多少时间？ 习 题 14.2 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针方向； 2