票市场上赚钱,炒股者其实只需要能够预测明天或下一周股票的涨跌趋势,而不 必知道市场的整个长时间的涨落规律。又例如,如果地球岩石圈的动力学系统被 证明具有决定论性的成分,则地震的预测并非完全不可能,而与地震的中长期预 报相比较,对某一地区的地震进行短临预报,对于人们的防震更有意义,所以, 复杂系统行为的短期预测已经变成混沌的最令人感兴趣的一个应用。 混沌的另一个重要应用是混沌的控制。这一应用基于如下事实:有许多不稳 定周期轨道嵌入在奇怪吸引子内,我们可以根据需要通过对系统施加一个小扰动 的方法使其中之一稳定并将混沌系统驱动到这一稳定周期轨道状态。这一技术已 经被成功地应用于各种机械的、电子的、激光的、化学的系统和心脏组织的控制 上。 自然界中的大多数特殊结构是由大量相同组元自组织集结而成的。通过某种 简单的称之为组织的构造法就可以出现自集结过程。两种最简单的构造法是所谓 规则性构造法和随机性构造法。采用规则性构造法,所有组元就排列成为周期或 准周期方式而构造成例如晶体与合金等等。采用随机性构造法而形成的结构(或 非结构)的例子有气体和动物毛发的分布等等。而在这两种极端的构造法之间, 则有自相似构造法,这将产生称为分形的自相似结构。在一个分形中,系统的局 部与整体相似。分形通常具有分数维数。许多分形还可能是不同分数维的分形的 集合,故称为多重分形。分形和多重分形的名词,是上世纪八十年代由曼德勃罗 特首先提出的。现在,分形在自然界和数学系统中的广泛存在性已被人们普遍认 识。例如:凝聚体和胶体、树木、岩石、山脉、云彩、星系、粗糙的表面和界面、 聚合物和股票市场,无不存在分形。而耗散动力系统中的混沌就表现为相空间中 具有分形结构的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形。混沌与 分形之间的这种联系至今尚未被充分理解 分形系统的最典型性质是缺少空间的特征尺度。这一性质可以有三种等价的 表达方式:拓朴自相似性,空间的幂函数律,和标度不变性。类似的,系统中不 存在时间的特征尺度将导致时间的幂函数律,例如,1噪声。为了解释分形和 无特征尺度行为在非平衡系统中的广泛存在性,丹麦人巴克和中国学者汤超等在 1987年提出了自组织临界性假设,现在人们知道,自组织临界性假设不仅适用 于沙堆,也适用于许多自然系统和社会系统。 人们早就注意到河流、树枝、叶脉、和闪电所形成的分枝之间有惊人的相似-9- 票市场上赚钱，炒股者其实只需要能够预测明天或下一周股票的涨跌趋势，而不 必知道市场的整个长时间的涨落规律。又例如，如果地球岩石圈的动力学系统被 证明具有决定论性的成分，则地震的预测并非完全不可能，而与地震的中长期预 报相比较，对某一地区的地震进行短临预报，对于人们的防震更有意义，所以， 复杂系统行为的短期预测已经变成混沌的最令人感兴趣的一个应用。 混沌的另一个重要应用是混沌的控制。这一应用基于如下事实：有许多不稳 定周期轨道嵌入在奇怪吸引子内，我们可以根据需要通过对系统施加一个小扰动 的方法使其中之一稳定并将混沌系统驱动到这一稳定周期轨道状态。这一技术已 经被成功地应用于各种机械的、电子的、激光的、化学的系统和心脏组织的控制 上。 自然界中的大多数特殊结构是由大量相同组元自组织集结而成的。通过某种 简单的称之为组织的构造法就可以出现自集结过程。两种最简单的构造法是所谓 规则性构造法和随机性构造法。采用规则性构造法，所有组元就排列成为周期或 准周期方式而构造成例如晶体与合金等等。采用随机性构造法而形成的结构（或 非结构）的例子有气体和动物毛发的分布等等。而在这两种极端的构造法之间， 则有自相似构造法，这将产生称为分形的自相似结构。在一个分形中，系统的局 部与整体相似。分形通常具有分数维数。许多分形还可能是不同分数维的分形的 集合，故称为多重分形。分形和多重分形的名词，是上世纪八十年代由曼德勃罗 特首先提出的。现在，分形在自然界和数学系统中的广泛存在性已被人们普遍认 识。例如：凝聚体和胶体、树木、岩石、山脉、云彩、星系、粗糙的表面和界面、 聚合物和股票市场，无不存在分形。而耗散动力系统中的混沌就表现为相空间中 具有分形结构的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形。混沌与 分形之间的这种联系至今尚未被充分理解。 分形系统的最典型性质是缺少空间的特征尺度。这一性质可以有三种等价的 表达方式：拓朴自相似性，空间的幂函数律，和标度不变性。类似的，系统中不 存在时间的特征尺度将导致时间的幂函数律，例如，1/f 噪声。为了解释分形和 无特征尺度行为在非平衡系统中的广泛存在性，丹麦人巴克和中国学者汤超等在 1987 年提出了自组织临界性假设，现在人们知道，自组织临界性假设不仅适用 于沙堆，也适用于许多自然系统和社会系统。 人们早就注意到河流、树枝、叶脉、和闪电所形成的分枝之间有惊人的相似