方法不适用于非线性系统的分析。因此,系统的非线性带来系统行为的复杂性。 对于非线性系统行为的解析研究是相当困难的。 更进一步,在许多情况下,对于我们所要研究的系统,方程是未知的,或甚 至可能根本不存在。从分形图样生长的简单的扩散限制聚集模型,到象股票市场 那样的复杂经济系统,我们可以举出无数写不出方程的非线性系统的例子 混沌是非线性系统的最典型行为,它起源于非线性系统对于初始条件的敏感 依赖性。混沌现象早在上世纪初就已经被法国学者彭加勒所发现,后来又被许多 数学家所仔细研究。而学术界近年来对于混沌的特别关注,则起始于七十年代, 这是因为美国人费根保姆发现了一些象平方函数重复迭代的很大一类简单映射 系统居然具有普适的性质。例如倍周期分叉到混沌的道路,分叉参数的渐近收敛 比值,分叉的几何特征具有普适标度性等等。而费根保姆工作则是受到了美国气 象学家洛伦兹与气象预报有关的重要然而朦胧的工作的启示。 对于混沌系统的如下两个发现特别有意义。其一,人们发现一个决定论性系 统的行为当处于混沌状态时似乎是随机的。仅仅这一发现就迫使所有的实验家要 重新考察他们的数据,以确定某些曾经归于噪声的随机行为是否应该重新确定为 是由于决定论性混沌而产生的。其二,人们发现很少自由度的非线性系统,就可 能是混沌的而表现为相当复杂。这一发现给我们以这样的启示:许多真实系统中 所观察到的复杂行为其实有一个简单的起源,那就是混沌。当然,混沌仅仅是复 杂性的起源之一,还存在并非来源于混沌的更复杂的复杂性。 决定论性混沌的真实系统(例如气候)的行为具有明显的不可预测性。这 是由于系统对于初始条件的敏感依赖性:二是由于我们在实际中只能近似地测量 或确定系统的初始条件,因为任何测量仪器都只具有有限的分辨率。这两个根本 困难排除了对于任何混沌的真实系统作出长期预报的可能。 但从另一方面看,一个被确认为决定论性混沌的系统,在看起来非常复杂的 行为中,却蕴藏着秩序,因而进行短期预报是可能的。问题在于:如何确定复杂 现象的背后是否存在决定论性混沌的起源?又,如何对一个混沌系统的行为进行 短期预报?对于气象或股票市场一类系统,由于不可逾越的复杂性,描写这类系 统的完全方程组,即使是存在的,也决无办法知道。或者,即使我们能写出所有 相关的方程组,也不可能有足够强大功能的计算机来求解这些方程组。但是从实 用的角度考虑,往往只需要对这类系统作一次成功的短期预报。例如,为了在股-8- 方法不适用于非线性系统的分析。因此，系统的非线性带来系统行为的复杂性。 对于非线性系统行为的解析研究是相当困难的。 更进一步，在许多情况下，对于我们所要研究的系统，方程是未知的，或甚 至可能根本不存在。从分形图样生长的简单的扩散限制聚集模型，到象股票市场 那样的复杂经济系统，我们可以举出无数写不出方程的非线性系统的例子。 混沌是非线性系统的最典型行为，它起源于非线性系统对于初始条件的敏感 依赖性。混沌现象早在上世纪初就已经被法国学者彭加勒所发现，后来又被许多 数学家所仔细研究。而学术界近年来对于混沌的特别关注，则起始于七十年代， 这是因为美国人费根保姆发现了一些象平方函数重复迭代的很大一类简单映射 系统居然具有普适的性质。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉参数的渐近收敛 比值，分叉的几何特征具有普适标度性等等。而费根保姆工作则是受到了美国气 象学家洛伦兹与气象预报有关的重要然而朦胧的工作的启示。 对于混沌系统的如下两个发现特别有意义。其一，人们发现一个决定论性系 统的行为当处于混沌状态时似乎是随机的。仅仅这一发现就迫使所有的实验家要 重新考察他们的数据，以确定某些曾经归于噪声的随机行为是否应该重新确定为 是由于决定论性混沌而产生的。其二，人们发现很少自由度的非线性系统，就可 能是混沌的而表现为相当复杂。这一发现给我们以这样的启示：许多真实系统中 所观察到的复杂行为其实有一个简单的起源，那就是混沌。当然，混沌仅仅是复 杂性的起源之一，还存在并非来源于混沌的更复杂的复杂性。 决定论性混沌的真实系统（例如气候）的行为具有明显的不可预测性。这一 是由于系统对于初始条件的敏感依赖性；二是由于我们在实际中只能近似地测量 或确定系统的初始条件，因为任何测量仪器都只具有有限的分辨率。这两个根本 困难排除了对于任何混沌的真实系统作出长期预报的可能。 但从另一方面看，一个被确认为决定论性混沌的系统，在看起来非常复杂的 行为中，却蕴藏着秩序，因而进行短期预报是可能的。问题在于：如何确定复杂 现象的背后是否存在决定论性混沌的起源？又，如何对一个混沌系统的行为进行 短期预报？对于气象或股票市场一类系统，由于不可逾越的复杂性，描写这类系 统的完全方程组，即使是存在的，也决无办法知道。或者，即使我们能写出所有 相关的方程组，也不可能有足够强大功能的计算机来求解这些方程组。但是从实 用的角度考虑，往往只需要对这类系统作一次成功的短期预报。例如，为了在股