江袁宏 上一世纪初量子力学和相对论的发现,因为提出了突破人们传统思维的新概 念,将人类的世界观推进到超越经典的领域,而被公认为是物理学或更确切地说 是科学的两次革命。牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微 观尺度(<108cm),应该取代为量子力学,当物体的速度接近于光速(~10l0cm/s) 则相对论是正确的。 非线性科学作为科学的一个新分支,如同量子力学和相对论一样,也将我们 引向全新的思想,给予我们惊人的结果。非线性科学的诞生,进一步宣布了牛顿 的经典决定论的局限性。它指出,即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度, 经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。非线性科学涵盖各种 各样尺度的系统,涉及以任意速率运动的对象,这一事实丝毫不降低这一新学科 的创新性,恰恰相反,刚好说明它具有广泛的应用性。从这一点来看,其实非线 性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。 非线性科学,目前有六个主要研究领域,即:混沌、分形、模式形成、孤立 子、元胞自动机,和复杂系统。而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统 的非线性 个系统,如果其输出不与其输入成正比,则它是非线性的。例如一个介电 晶体,当其输出光强不再与输入光强成正比,就成为非线性介电晶体。例如弹簧, 当其位移变得很大时,胡克定律就失效,弹簧变为非线性振子。又例如单摆,仅 当其角位移很小时,行为才是线性的。实际上,自然科学或社会科学中的几乎所 有已知系统,当输入足够大时,都是非线性的。因此,非线性系统远比线性系统 多得多,客观世界本来就是非线性的,线性只是一种近似。任何系统在线性区和 非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。例如单摆的振荡周期在线性区不 依赖于振幅,但在非线性区,单摆的振荡周期是随振幅而变的 从数学上看,非线性系统的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系 统的方程的两个解之和仍为其解。迭加原理可以通过两种方式失效。其一,方程 本身是非线性的。其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的。 对于一个非线性系统,哪怕一个小扰动,象初始条件的一个微小改变,都可 能造成系统在往后时刻行为的巨大差异。迭加原理的失效也将导致 Fourier变换-7- 汪 秉 宏 上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概 念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说 是科学的两次革命。牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微 观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s）， 则相对论是正确的。 非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们 引向全新的思想，给予我们惊人的结果。非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿 的经典决定论的局限性。它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度， 经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。非线性科学涵盖各种 各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科 的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。从这一点来看，其实非线 性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。 非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立 子、元胞自动机，和复杂系统。而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统 的非线性。 一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。例如一个介电 晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。例如弹簧， 当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。又例如单摆，仅 当其角位移很小时，行为才是线性的。实际上，自然科学或社会科学中的几乎所 有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。因此，非线性系统远比线性系统 多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。任何系统在线性区和 非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。例如单摆的振荡周期在线性区不 依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。 从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系 统的方程的两个解之和仍为其解。迭加原理可以通过两种方式失效。其一，方程 本身是非线性的。其二，方程本身虽然是线性的，但边界是未知的或运动的。 对于一个非线性系统，哪怕一个小扰动，象初始条件的一个微小改变，都可 能造成系统在往后时刻行为的巨大差异。迭加原理的失效也将导致 Fourier 变换