证必要性。设∑un(x)在D上一致收敛,记和函数为S(x),则 对任意给定的E>0,存在正整数N=N(E),使得对一切n>N与一切 x∈D,成立 ∑n(x)-S(x)< 于是对一切m>n>N与一切x∈D,成立 1an1(x)+n2(x)+…+m()|=∑n()-∑a k=1 k=1 ∑1(x)-S(x)+>n(x)-S(x)< k=1证 必要性。设 ∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上一致收敛，记和函数为 S(x)，则 对任意给定的ε > 0，存在正整数 N = N( ) ε ， 使得对一切 n >N 与一切 x∈D，成立 )()( 1 xSxu n k ∑ k − = < 2 ε 。 于是对一切 m >n >N 与一切 x∈D，成立 │ )(1 xun+ + )( 2 xun+ +"+ um (x)│= ∑ − = m k k xu 1 )( ∑ = n k k xu 1 )( ≤ ∑ +− = )()( 1 xSxu m k k )()( 1 xSxu n k ∑ k − = < ε