第2期 廖福成等：状态时滞时变离散时间系统的最优预见控制器设计 ·215· B(){P(k+1)A(AX()+ P(k+1)E(A[R(k+1)- 一目标信号R 40 输出信号少y RB]+三P时(《+R+01. 式中，P(k+1)和P8(k+1)(i=1,2,,M)分 别由式(15)和式(19)确定，式(19)中的(k)由 20 式(17)确定. 40 通过△u(k),就可以求出系统(1)的最优 控制 10203040506070 4仿真实例 图2没有预见控制作用下系统的输出响应 在系统(1)中，取 Fig.2 Output responses of the system without preview control 0.01 -0.2 0 7 A()=0.02sin 0 0.01 5结论 0.1 0 0.02 本文通过构造扩大误差系统，将带有时滞的线 0.01sin -0.020.011 性时变时滞系统转化为形式上不含时滞的一般线性 A1(= -0.25cos k 0 0.03 时变系统，通过最优控制理论和预见控制理论得到 0.01cos 0 0.02 了满足性能指标的原系统的最优控制器.在最优控 [0.Isin -0.51 制器中包含了可以预见的未来目标值，进而使系统 B()= 2 ,C()= k 能够实时跟踪目标.最后的仿真实例说明了控制器 0.32 0.3 的有效性 d=2,N=70. 系统的状态初始值和输入初始值均取0，目标值 参考文献 R()=ksin车，可以预见的步数M:为20，性能指 [1]Moelia AA,Meinsma G.H,control of preview systems.Automat- ica,2006,42(6):945 标函数中取Q.=100,H=10.利用定理2以及Mat- [2]Liao FC.Takaba K.Katayama T,et al.Design of an optimal preview servomechanism for discrete-ime systems in a multirate lab仿真可以得到系统(1)的输出响应曲线（图1）. setting.Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser B,2003,10(5):727 在控制器中将可以预见的目标值信息移除，可以得 [3]Tsuchiva T.Egami T.Digital Preview and Predictive Control.Liao 到系统(1)在没有预见控制器作用下的输出响应曲 F C.Translated.Beijing:Beijing Science and Technology Press. 线（图2）.通过两个图像的比较，不难看出系统(1) 1994 在预见控制器的作用下，输出信号能较好地跟踪目 (土谷武士，江上正.最新自动控制技术一数字预见控制. 廖福成译.北京：北京科学技术出版社，1994) 标信号. [4]Liu H P.Liao F C.Design of an optimal preview controller for 60 multirate systems with general previewable signal.Pure Appl 目标信号R Math,2008,24(4):634 40 输出信号y (刘贺平，廖福成.一般目标信号和干扰信号下多采样率系统 的最优预见控制器设计.纯粹数学与应用数学，2008,24(4)： 634) [5]Yu L M,Wang Z L.Optimal preview compensative tracking con- trol for pilot-vehicle systems.Acta Autom Sin,2001,27(3):421 (于黎明，王占林.人机系统最优预见补偿跟踪控制研究.自 动化学报，2001,27(3)：421) [6]Prabakar R S,Sujatha C.Narayanan S.Optimal semi-ctive pre- 2030405060 70 view control response of a half car vehicle model with magnetorheo- logical damper.J Sound Vib,2009,326(3-5):400 图1预见控制器作用下系统的输出响应 [7]Hazell A,Limebeer D J N.An efficient algorithm for discrete-ime Fig.1 Output responses of the system with preview control H=preview control.Automatica,2008,44(9):2441第 2 期 廖福成等: 状态时滞时变离散时间系统的最优预见控制器设计 BT ( k) { P11 ( k + 1) A( k) X( k) + P11 ( k + 1) E( k) ［R( k + 1) － R( k) ］+ ∑ MR i = 1 P( i) 12 ( k + 1) R( k + i) } ． 式中，P11 ( k + 1) 和 P( i) 12 ( k + 1) ( i = 1，2，…，MR ) 分 别由式( 15) 和式( 19) 确定，式( 19) 中的 ξ ( k) 由 式( 17) 确定． 通过 Δu* ( k) ，就可以求出系统 ( 1 ) 的最优 控制． 4 仿真实例 在系统( 1) 中，取 A( k) = 0. 01 － 0. 2 0 0. 02sin k 0 0. 01        0. 1 0 0. 02 ， A1 ( k) = 0. 01sin k － 0. 02 0. 01 － 0. 25cos k 0 0. 03 0. 01cos k        0 0. 02 ， B( k) = 0. 1sin k 2        0. 32  ，C( k) = － 0. 5 k        0. 3  ， d = 2，N = 70． 系统的状态初始值和输入初始值均取 0，目标值 R( k) = ksin k 4 ，可以预见的步数 MR 为 20，性能指 标函数中取 Qe = 100，H = 10． 利用定理 2 以及 Mat￾lab 仿真可以得到系统( 1) 的输出响应曲线( 图 1) ． 在控制器中将可以预见的目标值信息移除，可以得 到系统( 1) 在没有预见控制器作用下的输出响应曲 线( 图 2) ． 通过两个图像的比较，不难看出系统( 1) 在预见控制器的作用下，输出信号能较好地跟踪目 标信号． 图 1 预见控制器作用下系统的输出响应 Fig． 1 Output responses of the system with preview control 图 2 没有预见控制作用下系统的输出响应 Fig． 2 Output responses of the system without preview control 5 结论 本文通过构造扩大误差系统，将带有时滞的线 性时变时滞系统转化为形式上不含时滞的一般线性 时变系统，通过最优控制理论和预见控制理论得到 了满足性能指标的原系统的最优控制器． 在最优控 制器中包含了可以预见的未来目标值，进而使系统 能够实时跟踪目标． 最后的仿真实例说明了控制器 的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Moelja A A，Meinsma G． H2 control of preview systems． Automat￾ica，2006，42( 6) : 945 ［2］ Liao F C，Takaba K，Katayama T，et al． Design of an optimal preview servomechanism for discrete-time systems in a multirate setting． Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser B，2003，10( 5) : 727 ［3］ Tsuchiya T，Egami T． Digital Preview and Predictive Control． Liao F C，Translated． Beijing: Beijing Science and Technology Press， 1994 ( 土谷武士，江上正． 最新自动控制技术———数字预见控制． 廖福成译． 北京: 北京科学技术出版社，1994) ［4］ Liu H P，Liao F C． Design of an optimal preview controller for multirate systems with general previewable signal． Pure Appl Math，2008，24( 4) : 634 ( 刘贺平，廖福成． 一般目标信号和干扰信号下多采样率系统 的最优预见控制器设计． 纯粹数学与应用数学，2008，24( 4) : 634) ［5］ Yu L M，Wang Z L． Optimal preview compensative tracking con￾trol for pilot-vehicle systems． Acta Autom Sin，2001，27( 3) : 421 ( 于黎明，王占林． 人机系统最优预见补偿跟踪控制研究． 自 动化学报，2001，27( 3) : 421) ［6］ Prabakar R S，Sujatha C，Narayanan S． Optimal semi-active pre￾view control response of a half car vehicle model with magnetorheo￾logical damper． J Sound Vib，2009，326( 3-5) : 400 ［7］ Hazell A，Limebeer D J N． An efficient algorithm for discrete-time H∞ preview control． Automatica，2008，44( 9) : 2441 ·215·