◆214· 北京科技大学学报 第34卷 0 可以得到系统(10)的最优控制△W()为 △u()= AR= 0 -[H+B'(AP(k+1)B(A]-B()· {P(k+1)A()X()+[P(k+1)GR+ .0 P2(k+1)AR]XR()}. (14) rA(k) 因此要得到△()，只需计算出矩阵P()中的矩 0 A 阵分块P:()和P2().将各个矩阵的分块代入 B1,式(9)可简记为 Riccati方程(13)中的第一个式子可以得到 B()= P()=Q+A'()P(k+1)A(- X(k+1)=A(k)x(k)+B(k)Au(k) A"(k)Pu(k+1)B([H+B(k)Pu(k+ (10) 1)B(A]-B()P,(k+1)A(),(15) 性能指标函数(8)可写为 P2(k)=A(k)(I-P(k+1)B(+ )[XE()OX(A+△u'()H△u(A]. B'(AP(k+1)B(月]-B'()}× [P:(k+1)GR+P2(k+1)AR],(16) (11) 且满足边界条件P(N+1)=0,P2(N+1)=0.此 式钟0-[日01 时求解P,(k)的Riccati方程的阶数为m+(d+ 2)n+r阶，与预见步数MR无关. 现在，问题转化为在性能指标函数为式(11)所 下面我们来证明，求得P(k)以后，P2(k)的 定义的J下，求扩大误差系统(10)的最优控制 列向量可以通过递推方式求出.记 △u(k). (A={I-B(A[H+B()P:(k+I)B(A]-× 3扩大误差系统的最优控制 B()P(k+1)}A(), (17) 则 对于扩大误差系统(10)，根据数字最优调节理 论，可得到以下定理 P2(A)=专(A[P(k+1)GR+P2(k+1)AR]. 定理1使性能指标函数(11)取最小值的系统 (18) (10)的最优控制△()为 根据矩阵AR的结构，将P2()进行下面的分解： △()=-[H+B(A)P(k+1)B-(A]-1× P2(k)= BF(k)P(k+1)AF()X(A.(12) [PB(AP()…P()P+w(A]. 式中，对称矩阵P()为满足如下所给边界条件的 把P2()的分解式和GR、AR的表达式代入式(18) Riccati方程的半正定解： 可以得到求P2()的列向量的迭代式 [P()=0+A()P(k+1)A()- PB()=-'()P(k+1)E AF()P(k+I)B(×[H+ P(=专()P(k+1)E+专'(PB(k+1), B()P(k+1)B()]-·(13) P()=专(P(k+1), B()P(k+1)A(). P(N+1)=0. P()=专'(P-”(k+1), 通过以上构造扩大误差系统的过程，不难得出 P“+()=专()P(k+I), P(k)是一个(d+2)n+(MR+2)m+r阶的矩阵，显 (19) 然当预见步数Me比较大时，求解Riccati方程就会 并且满足边界条件P8(N+1)=0,i=1,2,…, 比较困难.为此下面将矩阵P()进行分解，以降低 MR+1. 求解Riccati方程的阶数. 将P()和P2(k)的表达式代入式(14)可以 考虑到Ar()和B()的结构，将P()进行如 得到下面的定理. 下的分块： 定理2使性能指标函数(11)取最小值的系统 rP()P2(1 P()= (10)的最优控制△()为 P()P(k △u(A=-[H+B'()P(k+1)B(的]-I×北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 AR = 0 Im 0 … 0         0   Im 0 … … …              0  ． 令 XF ( k) = X( k) XR ( k [ ] ) ，AF ( k) = A( k) GR 0 A [ ] R ， BF ( k) = B( k) [ ] 0 ，式( 9) 可简记为 XF ( k + 1) = AF ( k) XF ( k) + BF ( k) Δu( k) ． ( 10) 性能指标函数( 8) 可写为 J = 1 2 ∑ N k = 1 ［XT F ( k) Q 槇XF ( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ］． ( 11) 式中，Q 槇 = Q 0 [ ] 0 0 ． 现在，问题转化为在性能指标函数为式( 11) 所 定义的 J 下，求扩大误差系统 ( 10 ) 的最优控制 Δu( k) ． 3 扩大误差系统的最优控制 对于扩大误差系统( 10) ，根据数字最优调节理 论［4］，可得到以下定理． 定理 1 使性能指标函数( 11) 取最小值的系统 ( 10) 的最优控制 Δu* ( k) 为 Δu* ( k) = －［H + BT F ( k) P( k + 1) BF ( k) ］－ 1 × BT F ( k) P( k + 1) AF ( k) XF ( k) ． ( 12) 式中，对称矩阵 P( k) 为满足如下所给边界条件的 Riccati 方程的半正定解: P( k) = Q 槇 + AT F ( k) P( k + 1) AF ( k) － AT F ( k) P( k + 1) BF ( k) ×［H + BT F ( k) P( k + 1) BF ( k) ］－ 1 · BT F ( k) P( k + 1) AF ( k) ， P( N + 1)          = 0. ( 13) 通过以上构造扩大误差系统的过程，不难得出 P( k) 是一个( d + 2) n + ( MR + 2) m + r 阶的矩阵，显 然当预见步数 MR 比较大时，求解 Riccati 方程就会 比较困难． 为此下面将矩阵 P( k) 进行分解，以降低 求解 Riccati 方程的阶数． 考虑到 AF ( k) 和 BF ( k) 的结构，将 P( k) 进行如 下的分块: P( k) = P11 ( k) P12 ( k) PT 12 ( k) P22 ( k [ ] ) ． 可以得到系统( 10) 的最优控制 Δu* ( k) 为 Δu* ( k) = －［H + BT ( k) P11 ( k + 1) B( k) ］－ 1 BT ( k)· { P11 ( k + 1) A( k) X( k) +［P11 ( k + 1) GR + P12 ( k + 1) AR］XR ( k) } ． ( 14) 因此要得到 Δu* ( k) ，只需计算出矩阵 P( k) 中的矩 阵分块 P11 ( k) 和 P12 ( k) ． 将各个矩阵的分块代入 Riccati 方程( 13) 中的第一个式子可以得到 P11 ( k) = Q + AT ( k) P11 ( k + 1) A( k) － AT ( k) P11 ( k + 1) B( k) ［H + BT ( k) P11 ( k + 1) B( k) ］－ 1 BT ( k) P11 ( k + 1) A( k) ， ( 15) P12 ( k) = AT ( k) { I － P11 ( k + 1) B( k) ［H + BT ( k) P11 ( k + 1) B( k) ］－ 1 BT ( k) } × ［P11 ( k + 1) GR + P12 ( k + 1) AR］， ( 16) 且满足边界条件 P11 ( N + 1) = 0，P12 ( N + 1) = 0. 此 时求解 P11 ( k) 的 Riccati 方程的阶数为 m + ( d + 2) n + r 阶，与预见步数 MR 无关． 下面我们来证明，求得 P11 ( k) 以后，P12 ( k) 的 列向量可以通过递推方式求出． 记 ξ( k) = { I － B( k) ［H + BT ( k) P11 ( k +1) B( k) ］－ 1 × BT ( k) P11 ( k + 1) }A( k) ， ( 17) 则 P12 ( k) = ξT ( k) ［P11 ( k + 1) GR + P12 ( k + 1) AR］． ( 18) 根据矩阵 AR 的结构，将 P12 ( k) 进行下面的分解: P12 ( k) = ［P( 1) 12 ( k) P( 2) 12 ( k) … P( MR) 12 ( k) P( MR + 1) 12 ( k) ］． 把 P12 ( k) 的分解式和 GR、AR 的表达式代入式( 18) 可以得到求 P12 ( k) 的列向量的迭代式 P( 1) 12 ( k) = － ξT ( k) P11 ( k + 1) E， P( 2) 12 ( k) = ξT ( k) P11 ( k + 1) E + ξT ( k) P( 1) 12 ( k + 1) ， P( 3) 12 ( k) = ξT ( k) P( 2) 12 ( k + 1) ，  P( MR) 12 ( k) = ξT ( k) P( MR － 1) 12 ( k + 1) ， P( MR + 1) 12 ( k) = ξT ( k) P( MR) 12 ( k + 1          ) ， ( 19) 并且满足边界条件 P( i) 12 ( N + 1) = 0，i = 1，2，…， MR + 1． 将 P11 ( k) 和 P12 ( k) 的表达式代入式( 14) 可以 得到下面的定理． 定理 2 使性能指标函数( 11) 取最小值的系统 ( 10) 的最优控制 Δu* ( k) 为 Δu* ( k) = －［H + BT ( k) P11 ( k + 1) B( k) ］－ 1 × ·214·