z15a.nb15 VIx 入-11(1+1) eq=D[u[x],(x,2}] D x+ cO Coefficienteq, v[x]] implify(c0/xI c1= simplify[e1/x] c2= simplify[c2/x] eqs=co v[x]+clv'[x]+c2 Pu1 simplify co v【x]+c1v"【x]+c2v"【x] eqs // TraditionalForm (2l-x+2)y(x)(A-l-1)(x) +y(x) x 得v)满足的微分方程 pr"+(21+2-)y+-1-17=0记得径向波函数:「R(=pe-n2vp E'E: xy+(m+1-x)y+ny=0-the associated Laguerre equation ′=2l+1 =n+l+1 注意到当n不是0或正整数时,p→∞时 )~e导致R()=pew(p)→∞ 故:m为0或正整数=A=n+l+1=n=l=n-n-1即:l=0,1,…,n-1 电子能量:A= h(21E E 此即量子力学中著名的Bohr公式 其中n=1,2,…,称为主量子数, 旦n确定,由于要求l=n-m-1且m为0或正整数,故:l=0,1,…,n 上式的意义是 a.电子能量不能取连续值,只能取分立值。源自波函数的边界条件。 从数学上看,能量取分立值来自Sum- Liouville本征值问题中微分方程的本征值取分立值 b.主量子数n与角动量量子数/满足:l≤n,即:给定n,l=0,1,2,…n 电子波函数 m'=2l+1 注意到:{x=n+1+1= 径向波函数:R(p)=pe2Lmq n1m= Crimple2l21(p)Y1m(,d)Cnlm为归一化常数。u[x_] = xl v[x]; eq = D[u[x], {x, 2}] - 1 - 2 x D[u[x], x] + λ - 1 x - l (l + 1) x2 u[x]; eq = Expand[eq]; c2 = Coefficient[eq, v''[x]]; c1 = Coefficient[eq, v'[x]]; c0 = Coefficient[eq, v[x]]; c0 = Simplifyc0  xl; c1 = Simplifyc1  xl; c2 = Simplifyc2  xl; eqs = c0 v[x] + c1 v'[x] + c2 v''[x]; FullSimplifyc0 v[x] + c1 v'[x] + c2 v''[x] - eq xl  eqs // TraditionalForm 0 (2 l − x + 2) v′ (x) x + (λ − l − 1) v(x) x + v′′(x) 得 v(ρ) 满足的微分方程 ： ρ v′′ + (2 l +2 − ρ) v′ + (λ − l − 1) v = 0 记得径向波函数 ： R (ρ) = ρl −ρ/2 v(ρ) 比较：x y″ + (m′ +1 − x) y′ + n′ y = 0 —— the associated Laguerre equation 得： m′ = 2 l + 1 λ = n′ + l + 1 注意到 当 n′ 不是 0 或正整数时 ，ρ  ∞ 时，Ln′ m′ (ρ) ~  ρ 导致 R(ρ) = ρl −ρ/2 v(ρ)  ∞ 故： n′ 为 0 或正整数 ⟹ λ = n′ + l + 1 = n ⟹ l = n − n′ − 1 即：l = 0, 1, ..., n − 1 电子能量 ：λ = e2 ℏ μ 2 E 1/2 = α μ c2 2 E 1/2 = n ⟹ E = − 1 2 μ c2 α2 n2 —— 此即量子力学中著名的 Bohr 公式 其中 n = 1, 2, … 称为主量子数 ， 一旦 n 确定，由于要求 l = n − n′ − 1 且 n′ 为 0 或正整数 ，故： l = 0, 1, …, n − 1 上式的意义是 ： a. 电子能量不能取连续值，只能取分立值。源自波函数的边界条件。 从数学上看 ，能量取分立值来自 Sturm−Liouville 本征值问题中微分方程的本征值取分立值 。 b. 主量子数 n 与角动量量子数 l 满足：l ≤ n，即：给定 n，l = 0, 1, 2, ..., n − 1 电子波函数 ： 注意到： m′ = 2 l + 1 λ = n′ + l + 1 = n 径向波函数 ：R(ρ) = ρl −ρ/2 Ln′ m′ (ρ) ψn l m = cn l m ρl −ρ/2 Ln−l−1 2 l+1 (ρ) Yl m(θ, ϕ) cn l m 为归一化常数 。 z15a.nb 15