14 z15anb 此类中心势场(球对称)问题,利用d的周期条件以及6=0,的有界条件, 可知角度函数为球谐函数:YP(,d) 再利用:v=122)2 及121y(.6)=+1)r(,的) 分离变量:向m=R(n)YP,代入 Schrodinger方程、2+()山=E山 即可得径向波函数R(r)满足的常微分方程: 除以角度函数F6)的v2 引入:P=(-8HE/n2)2r—无量纲化,P是无量纲变量 方程变为: R12dRl(+1) dp p dp p 其中:A= e2u 2-uc 无量纲参数 h(2|E1 2|E 精细结构 无量纲参数 力c137 用点数学与“物理手段”化简。 看p→s,略去、及~项,径向方程近似为 ae2+be2, lim ef=∞,不合物理 故有:p→∞时up)~e-2 令:R=eP2u(p),方程化为 1l(+1) 再看p→0的情况,保留~一项,径向方程近似为 2ld+1) n=0这里对一阶和二阶导数项均保留 dominant项 p2a"+2pt-l(l+1)a=0 138例1 u=apl-l+ bp 第一项导致R(p)=eP2u(p)~p-1在p→0时发散,不合物理,故有:p→0时up)~p 故,对一般的p,设p)=pvp),记得:|R(p)=e2up)=pcvp 记得Pank在凑出黑体辐射公式时,也是从(低频与高频)两个极限出发哟 可见这是个物理学家常用的“流氓手段”。 A-1+1) n(p)=pmp)代入关于up)的径向方程:ap2(pap(pp2对此类中心势场 （球对称） 问题，利用 ϕ 的周期条件以及 θ = 0, π 的有界条件 ， 可知角度函数为球谐函数 ：Yl m(θ, ϕ) 再利用：∇2 = 1 r2 ∂ ∂ r r2 ∂ ∂ r − L  2 r2 及 L  2 Yl m(θ, ϕ) = l(l + 1) Yl m(θ, ϕ) 分离变量 ： ψl m = Rl(r) Yl m(θ, ϕ) 代入 Schrödinger 方程：− ℏ2 2 μ ∇2 ψ + V(r) ψ = E ψ 即可得径向波函数 R (r) 满足的常微分方程 ： 1 r2  r r2 Rl r − l(l + 1) r2 Rl 除以角度函数 Yl m(θ,ϕ) 的 ∇2ψ + 2 μ ℏ2 e2 r + E Rl = 0 引入：ρ = −8 μ Eℏ2 1/2 r —— 无量纲化，ρ 是无量纲变量 方程变为 ： 2 Rl ρ2 + 2 ρ Rl ρ − l(l + 1) ρ2 Rl + λ ρ − 1 4 Rl = 0, 其中：λ = e2 ℏ μ 2 E 1/2 = α μ c2 2 E 1/2 —— 无量纲参数 α = e2 ℏ c ~ 1 137 —— 精细结构常数 ，无量纲参数 用点数学与 “物理手段” 化简。 看 ρ  ∞ ， 略去 ~ 1 ρ 及 ~ 1 ρ2 项，径向方程近似为 ： u″ − 1 4 u = 0 ⟶ u = a ρ/2 + b −ρ/2, lim ρ∞ ρ = ∞, 不合物理 ， 故有：ρ  ∞ 时 u(ρ) ~ −ρ/2 令：R = −ρ/2 u(ρ)，方程化为 ： 2 u ρ2 − 1 − 2 ρ u ρ + λ − 1 ρ − l(l + 1) ρ2 u = 0, 再看 ρ  0 的情况，保留 ~ 1 ρ2 项，径向方程近似为 ： u″ + 2 ρ u′ − l(l + 1) ρ2 u = 0 这里对一阶和二阶导数项均保留dominant项 ⟹ ρ2 u″ + 2 ρ u′ − l(l + 1) u = 0 §13 .8 例 1 u = a ρ−l−1 + b ρl , 第一项导致 R(ρ) = −ρ/2 u(ρ)~ρ−l−1 在 ρ  0 时发散，不合物理， 故有：ρ  0 时 u(ρ) ~ ρl 故，对一般的 ρ，设 u(ρ) = ρl v(ρ)， 记得： R (ρ) = −ρ/2 u(ρ) = ρl −ρ/2 v(ρ) 记得 Plank在凑出黑体辐射公式时 ，也是从 （低频与高频 ） 两个极限出发哟 ， 可见这是个物理学家常用的 “流氓手段 ”。 u (ρ) = ρl v(ρ) 代入关于 u(ρ) 的径向方程 ： 2 u ρ2 − 1 − 2 ρ u ρ + λ − 1 ρ − l(l + 1) ρ2 u = 0, 14 z15a.nb