z15anb13 (k+1)2 k很大时c+1 Shirk k很大时d+ k! k 时 关联 aguerre函数 关联 Laguerre函数 ()=(1dy4m+m 满足微分方程 xy+(m+I-x)y+ny=0 -the associated Laguerre equation 比较:xy+(1-x)y+ny=0 he Laguerre equation 形式 d (x,D=C1- 1-m=+=22a)p 因为:v为非整数时,x→∞时,Ln(x)~e,所以 v为非整数时,x→∞时,Lm(x)~er 除非,v=正整数 Q应用举例:氢原子 量子力学中最简单的实际体系,氢原子问题 质量为p的电子在氢原子核的库仑势中运动,电子的波函数满足 Schrodinger方程 Vψ()+()()=E山(P) 库仑势:P=-球对称势,这里用高斯单位制,没有4 sdo+O=Eb,求电子能量E的可能取值即对应的电子波函数 其中:(r,6,)为电子波函数,p为电子质量,h h为Pank常数; (r)=-—描述中心作用势能,E是电子总能量(动能与势能之和) 解:注意到(r)与角度(,)无关ck+1 = (k − n) (k + 1)2 ck ck+1 = (k − v) (k + 1)2 ck ⟹ k 很大时 ck+1 ck ~ 1 (k + 1) 比较： x =  k=0 ∞ xk k ! =  k=0 ∞ dk x2 k ⟹ k 很大时 dk+1 dk ~ 1 (k + 1) 知： Lv(x) ~ x x  ∞ 时  关联Laguerre函数 关联Laguerre函数 Ln m(x) = (−1)m m xm Ln+m(x) 满足微分方程： x y″ + (m +1 − x) y′ + n y = 0 —— the associated Laguerre equation 比较：x y″ + (1 − x) y′ + n y = 0 —— the Laguerre equation Sturm-Liouville 形式  x xm+1 −x y x + n xm −x y = 0 生成函数： g(x, t) = −x t/(1−t) (1 − t)m+1 =  n=0 ∞ Ln m(x) t n 因为： v 为非整数时 ，x  ∞ 时，Lv(x) ~ x，所以 v 为非整数时 ，x  ∞ 时，Lv m(x) ~ x 除非，v = 正整数  应用举例：氢原子 量子力学中最简单的实际体系，氢原子问题。 质量为 μ 的电子在氢原子核的库仑势中运动，电子的波函数满足 Schrödinger方程 − ℏ2 2 μ ∇2 ψ(r ) + V(r ) ψ(r ) = E ψ(r ) 库仑势：V(r  ) = −e2 r 球对称势，这里用高斯单位制，没有 1 4 π ε0 Schrödinger 方程 − ℏ2 2 μ ∇2 ψ + V(r) ψ = E ψ，求电子能量 E 的可能取值即对应的电子波函数 。 其中：ψ(r, θ, ϕ) 为电子波函数 ，μ 为电子质量 ，ℏ = h 2 π , h 为 Plank 常数; V(r) = − e2 r 描述中心作用势能 ，E 是电子总能量 （动能与势能之和 ）。 解：注意到 V(r) 与角度 (θ, ϕ) 无关， z15a.nb 13