12 z15anb Q递推关系 生成函数对t求导 (n+1)Ln+1(x)=(2n+1-x)Ln(x)-nL-1(x) 生成函数对x求导 L1(x)-L(x)=Ln-1(x) 联立可得 x Ln(x)=nLn(x)-nLm-(x) Q微分表示、积分表示 Rodrigue微分表示 L)=“"e2 Schlaefli积分表示(生成函数 Taylor展开系数) Q正交完备 xy"+(1-x)y+ny=0 写成 Sturm- Liouville形式 +ney=0 函数定义于:0≤x<+0 dr p(r) dx-g(x)y+A w(ry=0 比较:4 对应于:p(x)=e-x,q(x)=0,权函数:w(x)=ex 正交关系 Lm(x)Ln(x)e- dx= dm f(x)=>an L,(x), an= f(x)Ln(x)edx Q渐近行为 当n=γ不是整数时 Lr(x)=>cKr 带入微分方程的系数的递推关系 递推关系 生成函数对 t 求导， (n + 1) Ln+1(x) = (2 n + 1 − x) Ln(x) − n Ln−1(x). 生成函数对 x 求导 Ln−1 ′ (x) − Ln ′ (x) = Ln−1(x). 联立可得： x Ln ′ (x) = n Ln(x) − n Ln−1(x)  微分表示、积分表示 Rodrigue微分表示 Ln(x) = x n! n xn (xn −x) Schlaefli 积分表示 （生成函数 Taylor 展开系数） Ln(x) = n ! 2 π   t −n−1 −x t/(1−t) 1 − t t  正交完备 Laguerre 方程 x y″ + (1 − x) y′ + n y = 0 写成Sturm-Liouville形式  x −x  y x + n −x y = 0 函数定义于：0 ≤ x < +∞ 比较：  x p(x) y x  − q(x) y + λ w(x) y = 0 对应于：p(x) = −x, q(x) = 0, 权函数： w(x) = −x 正交关系 0 ∞ Lm(x) Ln(x) −x x = δm n 完备： f (x) =  n=0 ∞ an Ln(x), an = 0 ∞ f (x) Ln(x) −x x  渐近行为 当 n = v 不是整数时， Lv(x) =  k=0 ∞ ck xk 带入微分方程的系数的递推关系 12 z15a.nb