z15a.nb11 Laguerre函数 9 Laguerre徽分方程 也不是Stum- Liouville形式 当然,乘以:F(x) =e-x就变为是Sum- orville形式了 f(r) 函数定义于:0≤x<+0 Q级数解 x=0是微分方程的正则奇点,据 Frobenius and fuchs定理,方程必有以下形式的解 (x)=x3>ckx,co≠0,s称为指标 带入微分方程得指标方程:s2=0 系数的递推关系 当n为正整数时,退化为多 Laguerre多项式 另一个线性无关解呢? 类似于 Bessel方程,因为x=0是微分方程的正则奇点 既然已经得到一个在x=0收敛(有限)的解,另一个解必然在x=0点发散 所以在这里不深入讨论 Q图形 L0(x)= Ln(x) L L1(x)=-x+1 2!L2(x)=x2-4x+2 L2(X) 3!L3(x)=-x3+9x2-18x+6 L3(x) 4:L18=x-16x+2x2-96x+24-l L4(x) Q生成函数 由生成函数可得积分表示。Laguerre 函数  Laguerre 微分方程 x y″ + (1 − x) y′ + n y = 0 也不是Sturm-Liouville形式。 当然，乘以：F(x) = exp g(x) f (x) x f (x) = −x 就变为是Sturm-Liouville形式了：  x −x  y x + n −x y = 0 函数定义于：0 ≤ x < +∞  级数解 x = 0 是微分方程的正则奇点，据 Frobenius and Fuchs 定理 ，方程必有以下形式的解： y(x) = xs  k=0 ∞ ck xk, c0 ≠ 0, s 称为指标 带入微分方程得指标方程 ：s2 = 0 系数的递推关系 ck+1 = (k − n) (k + 1)2 ck 当 n 为正整数时，退化为多项式：—— Laguerre多项式 Ln(x) =  k=0 n (−1)k n! (k !)2 (n − k)! xk 另一个线性无关解呢？ 类似于Bessel方程 ，因为 x = 0 是微分方程的正则奇点 ， 既然已经得到一个在 x = 0 收敛 （有限） 的解，另一个解必然在 x = 0 点发散。 所以在这里不深入讨论 。  图形 L0(x) = 1 L1(x) = −x + 1 2! L2(x) = x2 − 4 x + 2 3! L3(x) = − x3 + 9 x2 − 18 x + 6 4! L4(x) = x4 − 16 x3 + 72 x2 − 96 x + 24 1 2 3 4 5 6 7 −10 −5 5 10 15 Ln(x) L1(x) L2(x) L3(x) L4(x)  生成函数 g(x, t) = −x t/(1−t) 1 − t =  n=0 ∞ Ln(x) t n 由生成函数可得积分表示。 z15a.nb 11