(x)k=mk=∑x”=12 所以 S(x)= 2)级数∑的收敛半径为R=1,当x=1时,级数发散,所以 定义域为D=(-1)。 设S(x)=x2n ,f(x)=xS(x)=∑ 利用逐项求导,得到 =02n+1 h=02n+1 f(x)=∑x2n= 所以 S(x)= (3)级数∑(-1)nx”的收敛半径为R=1,当x=±1时,级数发散, 所以定义域为D=(-1,1) 设S(x)=∑(1)4n2x",fx)=S(x)=∑-1)4n2x,利用逐项求积 分与上面习题(1),得到 0(x)=x-0xh=(ym”=a+x 所以 S(x)、d X x(1-x) d(1+x)2)(1+x) (4)级数∑一x的收敛半径为R=1,当x=坦时,级数收敛,所以 n=1h(+∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − 1 1 0 n x n nx dx x x x n n − = ∑ = ∞ =1 1 ， 所以 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x x dx d S x x 1 ( ) 2 (1 x) x − = 。 （2）级数∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x 的收敛半径为 R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ∞ = + = 0 2 2 1 ( ) n n n x S x ， f (x) = xS(x) = ∑ ∞ = + 0 + 2 1 n 2 1 n n x ，利用逐项求导，得到 2 0 2 1 1 '( ) x f x x n n − = ∑ = ∞ = ， 所以 ∫ − = x x dx x S x 0 2 1 1 ( ) x x x − + = 1 1 ln 2 1 。 （3）级数∑ 的收敛半径为 ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x R = 1，当 x = ±1时，级数发散， 所以定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = − = − 1 1 2 ( ) ( 1) n n n S x n x ∑ ∞ = − − = = − 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n x x S x f x ，利用逐项求积 分与上面习题（1），得到 ∫ = x f x dx 0 ( ) ∑∫ ∞ = − − − 1 2 1 0 1 ( 1) n x n n n x dx ∑ ∞ = − = − 1 1 ( 1) n n n nx 2 (1 x) x + = ， 所以 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 (1 ) ( ) x x dx d S x x 3 (1 ) (1 ) x x x + − = 。 （4）级数∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x 的收敛半径为R = 1，当 x = ±1时，级数收敛，所以 57