当x<min(R,R2)时,∑(an+bn)x"收敛。 当>min(R,R2),R≠R2时,∑(an+bn)x"发散 但当R=R2时,∑(an+b)x"的收敛半径有可能增加,例如 ∑ax=∑x",收敛半径为1,∑bx=2(-1p2收敛半径也为 n=0 n=0(2n 但∑(an+bn)x"的收敛半径为2。 所以R≥min(R,R2)。 (3)设∑abx”的收敛半径为R。 由 lim/a, b s lim llan lim /bn,可知R≥RR2 上式等号可能不成立,例如 收敛半径为 ∑anx"=∑x2,收敛半径也为1,但∑abnx”的收敛半径为R=+ 4.应用逐项求导或逐项求积分等性质,求下列幂级数的和函数,并 指出它们的定义域 =62n+1 n(n+1) (5)∑m(m+1) (6)1+ (2n)! ∑ 解(1)级数∑nx"的收敛半径为R=1,当x=±1时,级数发散,所以 定义域为D=(-1) 设S(x)=∑m”,f()=5(=∑nx,利用逐项求积分,得到当 x < ( ) 1 2 min R , R 时，∑ 收敛。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 当 x > ( ) 1 2 min R , R ，R1 ≠ R2 时，∑ 发散。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 但当 时， 的收敛半径有可能增加，例如 ，收敛半径为1， R1 = R2 ∑ ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = n 0 n x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 2 1 n n n x 收敛半径也为1， 但∑ 的收敛半径为 。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 2 所以R ≥ min( ) R1,R2 。 （3）设∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R 。 由 ≤ →∞ n n n n lim a b n n n a →∞ lim n n n b →∞ ⋅ lim ，可知R ≥ R1R2 。 上式等号可能不成立，例如 ∑ ，收敛半径为1， ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = 0 2 n n x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + = 0 2 1 n n x ，收敛半径也为1，但∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R = +∞ 。 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ； ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ； ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ； ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ； ⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ； ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 解 （1）级数∑ 的收敛半径为 ∞ n=1 n nx R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = 1 ( ) n n S x nx ∑ ∞ = − = = 1 1 ( ) ( ) n n nx x S x f x ，利用逐项求积分，得到 56