,级数发散 n n-a 所以收敛区域为D= aa (2)lim 所以收敛半径为R 月→0 x=±a ∑_x的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区 +b 域为D=(-a,a) (3)设ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n1+b"x2"+…=∑cnx",则 ma/Ic, lim nva" 所以收敛半径为R 当x=±产,Σcnx"的通项不趋于零,级数发散,所以收敛区域 为D= 3.设∑ax”与∑bx”的收敛半径分别为R1和R2,讨论下列幂级数的 收敛半径 anx (2)∑(an+bn)x” ab x 解(1)设∑anx2的收敛半径为R。 当<√R时,∑ax2收敛,当>√R时,∑anx发散,所以 R=√R1 (2)设∑(an+bn)x”的收敛半径为R当 a x 1 = 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 2 1 n n n n a b n ，级数发散。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 。 （2） a b a n n n n 1 1 lim = →∞ + ，所以收敛半径为R = a。 当 x = ±a时，∑ ∞ n=1 +n n n a b x 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 域为D = (−a, a)。 （3）设a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 +…+ an x 2n - 1 + bn x 2n +… ∑ ，则 ∞ = = n 1 n n c x = →∞ n n n lim c a a n n n = − →∞ 2 1 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = ± ， 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域 为 ∑ ∞ n=1 n n c x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的 收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 解 （1）设∑ 的收敛半径为 ∞ =0 2 n n n a x R 。 当 R1 x < 时，∑ 收敛，当 ∞ =0 2 n n n a x R1 x > 时，∑ 发散，所以 ∞ =0 2 n n n a x R = R1 。 （2）设∑ 的收敛半径为 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x R 。 55