可知级数的通项"(±e)不趋于零,因而发散。 所以收敛区域为D=(-e,e) (8)设m)子 y)x=∑anx",m=lm/【(n+l)2(2n) 所以收 n=1 n-an|→2(n+l)!(m) 敛半径为R=4。 当x=±4时,∑anx"=∑(±4)”,应用Sing公式 1(2n)! n~√2丌n"e-"(n→∞), 可知级数的通项(±4)不趋于零,因而发散 所以收敛区域为D=(-44) (9)设(2n) x"=>ax n+1 lin/(2n+2)!(2n+ 所 (2n+3)!(2n)! 以收敛半径为R=1。 当x=-1时,∑anx"=∑(-12川是 Leibniz级数,所以收敛 当x=1时,∑ax=(2),令bn=2 limn(,"-1) (2n+1)!! 由Rabe判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D=[-1 2.设a>b>0,求下列幂级数的收敛域 a"+b (3)ax+bx2+a2x3+b2x4+…+a"x2n-1+b"x2n+…。 解(1)lim a,所以收敛半径为 yoo nn a 当x2时5((,y),级数收敛可知级数的通项 n n e n n ( ) ! ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − e,e 。 （8）设 n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 4 1 ( !) (2 )! [2( 1)]! [( 1)!] lim 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + →∞ n n n n n ，所以收 敛半径为R = 4 。 当 x = ± 4时， ∑ ∞ n=1 n n a x n n n n ( 4) (2 )! ( !) 1 2 = ∑ ± ∞ = ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 可知级数的通项 n n n ( 4) (2 )! ( !) 2 ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − 4,4 。 （9）设 n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 1 (2 )!! (2 1)!! (2 3)!! (2 2)!! lim =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + + →∞ n n n n n ，所 以收敛半径为R = 1。 当 x = −1时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = − 1 (2 1)!! (2 )!! ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = 1时，∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = 1 (2 1)!! (2 )!! n n n ，令 (2 1)!! (2 )!! + = n n bn ， − = + →∞ lim ( 1) n 1 n n b b n 2 1 ， 由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D = [−1,1)。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + … + an x 2n - 1 + bn x 2n +…。 解（1） a n b n a n n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = − 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n a b n ，级数收敛。 54