第十章区间对象族系统的稳定性半径 就可以确定工X中的所有的交点。求出交点后,即可按下式算出p(X)的取值 1(x1)=|(x,),(A2)=|2(A2,),1(A,)=|(A,),(A4,)=|(A,.(10.28) 需要注意的是,(10.27)式有些解可能不属于工.事实上,交点A;1是多项式(A)+1()-71()分(入) 的根。显然,只有属于xX的根A1才需要考虑; 4.驻点,即以(入)的一阶导数为零的点。由于p(A)的表达式为(10.14),(10.16,(10.18)和(10.20)中的 32个有理函数的某一个,p(A)=0意味着((X)=0,这里x∈.,V},=1,2,4由于 ()为分段有理函数,并非体(入)的每个驻点都是(A)的驻点 在下面的小节里,我们将对上述4类点处(入)的计算问题做详尽的讨论 81013确定切换频率Asw,和(Asw,l) 为简单起见,假设控制器C(s)在虚轴上既无极点也无零点。将C(ju)分为虚部和实部 nHp.+ C(w) gDc jw(gNchpc -hNcgDc) Dc t yw 则切换频率λsw,由下述两种情况确定 a:gN。hDa-hNDe=0;这相当于 sin arg C(ju)=0,即argC(j)=k,此时C(ju)穿过虚轴。记这 类的切换频率为{w,} b: iNch+MgNc9Dc=0;这相当于 cos arg C(ju)=0,即argC(ju)=k霄+丌/2,此时C(ju)穿过实轴 记这一类的切换频率为{w,} 现在引入 Hurwitz矩阵对的公共特征向量的概念。 定义101給定m个ritz矩阵对(H,,H1,k),k=1,2,,m.令v(Ak)是(HB,k,H,k)的特征向量。 若A1=A2 Am=A,则称v(Ak)是矩阵对的公共特征向量 注意,在上述定义中我们并没有假设矩阵对(HB,k,H,)有相同的维数,所以v(Ak)可以是维数各异的向 量。v(Ak)之所以被称为公共向量是因为他们都是由Ao生成的向量,且M是与(H3,k,H,)对应的函数 对(,k(入),,k())的公共交点频率 设 deg No()=degD(s).则容易验证|g(4)-dg)()≤1.由(8.165)和(8.160,我们定以下述 Hurwitz矩阵 Hx,1=H(,,H2x,2=H(,A),丑1,3=H(,),丑3x,4=H(-A,所 H H(,72),H2x,2=H(2,73),H (3,14,H (,4) 此处X=I,II,以及 Hax,=H(A,A),丑Bx2=H(,A),丑Bx.=H(,B),丑3x,=H(-A,所) H n2),五,x,2=H(72,7,x,3=H(74,7) H(1,4) 此处ⅹ=I,IⅣV.下面的定理说明如何确定切换频率Asw;和 定理102(a)4w;>0是(a)类切换频率,当且仅当v(1w,是矩阵对 ),(H1,3,H1.3),( Hm,1),(H,3,H1m,3),( H 的公共特征向量。矩阵对(2x,k,2x,)的相应的特征值是(5w, (b)w;>0是(b)类切换频率,当且仅当v(w;)是矩眸对 (H,2,H12),(HBu,4,H14),(Hu,1,H,n,1),(Ht,3,H1,3), (丑n2,H1m,2),(H1,4,H1m,4),(HBv,Hny,),(Hav,3,H1,3) 的公共特征向量。矩阵对(互3x,k,H1x,k)的相应的特征值是体(4w,)❐ ❒ ❮ ❰✧Ï✗ÐÒÑ✝Ó☞Ô✝Õ☎Ö❁×☎Ø❸ÙÛÚ✟Ü✧Ý✝Þ✝ß à✧á✟â✗ã✝äæå✰ç✟è✗é✗ê✝ë✟é✗ì❁í✝î☞ï❸ð✗ì✟í☎ñ✟ò✗ó✝á☎ô✟õ✝ö✝÷❸ð➉ø✥ù ú❾ûüé✗ý✝þ✟ÿ ø➅ù ú✁￾ ✂ ✄ û✆☎✞✝✝ øç￾ ù ú✁￾ ✂ ✄ û ✝ ✝✠✟ ø➅ù ú☛✡ ✂ ✄ û✆☎☞✝✝ øç✡ ù ú☛✡ ✂ ✄ û ✝ ✝✌✟ ø➅ù ú ✍ ✂ ✄ û✎☎✞✝✝ øç✍ ù ú ✍ ✂ ✄ û ✝ ✝✌✟ ø➅ù ú ✏ ✂ ✄ û✆☎✞✝✝ øç✏ ù ú ✏ ✂ ✄ û ✝ ✝✁✑ ù ❒ ❮ ✒ ❐ ✓ û ✔✖✕✘✗✖✙é✛✚✟ò✎ù ❒ ❮ ✒ ❐ ✜ û ö✝ë✣✢✣✤✧á✣✥✣✦✖✧✘★ å✰ç ✒✎✩✣✪✖✫ò ì✟í ú ✬ ✂ ✄ ✚✘✭✖✮✝ö✰✯❾ç✬ ù ú❾û✱✥ç✬ ✲✳￾ ù ú❾û ✴✵✯❾ç✬ ✲✳￾ ù ú❾û✱✥ç✬ ù ú❾û é✛✶✟î✸✷✖✹✟ò✛✺✗ë✘✧✘★✇å✰ç✧é✛✶ ú ✬ ✂ ✄✎✻✔✖✕✣✼✣✽✿✾ ❀ ✒❂❁í✧ò✗ó✇ø✥ù ú❾ûsé✣❃❅❄✛❆✘❇✿❈✣❉❁é✧í✧î✘❊✸★ ø✥ù ú❾û✎é✖❋✘●✧ö✿❈➋ù ❒ ❮ ✒ ❒ ❀ û ❍✲ù ❒ ❮ ✒ ❒ ■ û ❍✲ù ❒ ❮ ✒ ❒ ✓ û✆❏ ù ❒ ❮ ✒ ❐ ❮ ûüè☎é ❑ ❐▼▲ë✘◆❅❖✖❇❁é✖P✿❃▲ò✇ø✁◗ ù ú❾û❂☎ ❮ ✙☞❘✛❙❯❚ø✔ç✬ ù ú❾û ❱ ◗ ☎ ❮ ❍☛❲✘❳❩❨❅❬✛❭ ❪ ✟ ❪ ❪ ✟ ❪ ❪ ❪ ✟ ❪❫❵❴ ❍☛❛✵☎ ❒ ✟ ❐ ✟ ❑ ✟ ❀ ✒ ❊✸★ ø✥ù ú❾û✵❈✖❜✣❝✝ë✣◆✿❖✖❇✟ò❡❞✿❢ ø✔ç✬ ù ú❾û✎é✖❣▲✣❁í✛❤✘✚✣ø✥ù ú❾ûüé❁í✝î ✐✧õ✣❥✧é✖❦✖❧✣❳❁ò✸♠✿♥✛♦✘♣✫✘qr❀tsí✛✉✣ø✥ù ú❾ûsé✛✈✝÷❅✇✸①✣②✣③✘④✟é✖⑤✣⑥❁î ⑦ ⑧ ⑨✁⑩ ⑧☛⑩ ❶❸❷✘❹✖❺✣❻✣❼✘❽ ú☛❾❿ ✂ ✄✎➀ ø✥ù ú☛❾❿ ✂ ✄ û ❈✣➁✖➂✣➃✘➄✧ò❡➅✘➆✣➇✘➈✣➉❩➊➅ù ➋ û✠✐✘➌✖➍✫✘➎✖➏✘➐í✖➑➏❉❁í✝î❡♦❩➊➅ù ➒➓✎û✠❜✘❈✣➌✖➔✣❏✪➔ ➊➅ù ➒➓✰û✵☎➣→↔✎↕t➙ ➒➓✆➛↔✎↕ →➜✆↕➝➙ ➒➓✆➛➜✆↕ ☎➣→↔✎↕✳→➜✆↕t➙ ➓ ✡ ➛↔✎↕ ➛➜✆↕➝➙ ➒➓❭ù ➛↔✎↕✎→➜✆↕ ✴ →↔✎↕ ➛➜✆↕ û → ✡ ➜✆↕ ➙ ➓ ✡ ➛ ✡ ➜✆↕ ✟ ➞✣➟✣➠✣➡✣➢ ú☛❾❿ ✂ ✄ ❊☞õq✣➤✣➥✣➦✣➧ã✧ä✧ÿ ➨✁➩ ➛↔✎↕✎→➜✆↕ ✴ →↔✎↕ ➛➜✆↕ ☎ ❮ ➫ ❲✘➭❅➯✣★➳➲ ➵➸✵➺➻➼✵➊➅ù ➒➓✰û❂☎ ❮ ❍✔ó➽➺➻➼❂➊➅ù ➒➓✰û❂☎✘➾ ➚✎❍☛➪❅➶➹➊➅ù ➒➓✰û✵➘✘➴✿➌✣➍❁î❡➷✘❲✿❃ sé✛➟✣➠✣➡✣➢✘❈➳➬sú ➮❾❿ ✂ ✬ ➱ ✒ ✃ ➩ →↔✎↕✎→➜✆↕➝➙ ú ➛↔✎↕ ➛➜✆↕ ☎ ❮ ➫ ❲✣➭✿➯✖★❩❐❒➲✁➺➻➼✵➊➅ù ➒➓✰û✵☎ ❮ ❍❾ó❮➺➻ ➼❂➊➅ù ➒➓✰û✆☎✘➾ ➚ ➙ ➚✳❰ ❐ ❍ ➪✿➶➽➊➅ù ➒➓✰û✵➘✣➴✪➍✟î ➷✣❲✘❃sé✛➟✣➠✘➡✣➢✿❈ ➬ ú Ï❾❿ ✂ ✬ ➱ ✒ Ð✐✿Ñ✛Ò❩Ó❂Ô➻Õ❂➵ Ö ×❵Ø❅Ù✸♣✟é❮Ú✘Û✣Ü✣Ý✞Þ✛ß✇é✛à✘á✟î ❹✖âã⑧ ⑨✁⑩ ⑧✿ä✛åræèç❩é✌êëì✆í îï✆ð❅ñ✛ò ùó▼ô ✂ õ ✟ ó❵ö ✂ õ û ÷✳➾▼☎ ❒ ✟ ❐ ✟ ✑ ✑ ✑ ✟ æ✸ø✎ù❩ú ù ú õ û✵û ùó▼ô ✂ õ ✟ ó❵ö ✂ õ û✠ü✛Ü✣Ý☞Þ✸ß✝î ý ú✁￾❂☎✧ú☛✡❂☎✿þ þ þ ☎✧úÿ✘☎✧ú ￾ ÷✂✁☎✄ ú ù ú õ û❂ûð❅ñ✛ò ü✸Ú✘Û✘Ü✣Ý✞Þ✸ß✧î ✗✖✙ò ✐✫✣qä✝✆❸è✸♠✿♥✛❞✟✞☎ë✘➅✣➆✘Ø❅Ù✛♣➋ùó▼ô ✂ õ ✟ ó❵ö ✂ õ û❨ë✣➭✡✠☎é☎☛✣❇✟òÛê❸â ú ù ú õ û✰á✟â✸✚✝☛✣❇✝☞✍✌✟é✟✎ ✏✟î ú ù ú õ û✂✑☎ê❁â✓✒✍✔✣❈✖✕✝✗✘✎✓✏✣✚✘✙✛❈✍✚✘♥✖❤✣✚➣❊ ú ￾✜✛✖✢✟é✟✎✣✏✟ò✥✤ ú ￾❵✚✍✦✣ùó▼ô ✂ õ ✟ ó❵ö ✂ õ û✆♣✝✧✟é✣❖✛❇ ♣ ù ø✁✬ ✂ õ ù ú❾û ✟ ø★ ✂ õ ù ú❾û û✂é☎✕✝✗✝ì✟í✛➡✣➢❁î ➆✪✩✫➼✬✮✭✎ù ➋ û✆☎✯✩✫➼✰✱✭✎ù ➋ û ✒ ➞✝✲✟✳☎✴✝✵✷✶ ✩✫➼✱✥ç✬ ù ú❾û✁✴✸✩✫➼✱✥ç★ ù ú❾û ✶ ✹ ❒ ✒ ❊æù ✓ ✒ ❒ ■ ✺ û✳❏ ù ✓ ✒ ❒ ■ ■ û ❍ ♠✘♥☎ä✟â✗õq Ó❂Ô➻Õ❂➵ Ö ×✠Ø❅Ù☎ÿ óô ✻ ✂ ￾ ☎✘ó☞ù✱✥ç￾ ✟ ✱✥ç✡ û ✟ óô ✻ ✂ ✡ ☎✣ó☞ù✱✥ç✡ ✟ ✱✥ç✍ û ✟ óô ✻ ✂ ✍ ☎✘ó☞ù✱✥ç✍ ✟ ✱✥ç✏ û ✟ óô ✻ ✂ ✏ ☎✘ó☞ù ✴✆✱✥ç￾ ✟ ✱✥ç✏ û óö ✻ ✂ ￾ ☎✘ó☞ù✯❾ç￾ ✟ ✯❾ç✡ û ✟ óö ✻ ✂ ✡ ☎✣ó☞ù✯❾ç✡ ✟ ✯❾ç✍ û ✟ óö ✻ ✂ ✍ ☎✘ó☞ù✯❾ç✍ ✟ ✯❾ç✏ û ✟ óö ✻ ✂ ✏ ☎✘ó☞ù✯❾ç￾ ✟ ✯❾ç✏ û ➪✣✉r❨✌☎✠❪ ❍☛❪ ❪ ❪ ❍✲â✓✼ óô ✻ ✂ ￾ ☎✘ó☞ù✱✥ç￾ ✟ ✱✥ç✡ û ✟ óô ✻ ✂ ✡ ☎✘ó☞ù✱✥ç✡ ✟ ✱✥ç✍ û ✟ óô ✻ ✂ ✍ ☎✘ó☞ù✱✥ç✏ ✟ ✱✥ç✍ û ✟ óô ✻ ✂ ✏ ☎✣ó☞ù ✴✆✱✥ç￾ ✟ ✱✥ç✏ û óö ✻ ✂ ￾ ☎✘ó☞ù✯❾ç￾ ✟ ✯❾ç✡ û ✟ óö ✻ ✂ ✡ ☎✘ó☞ù✯❾ç✡ ✟ ✯❾ç✍ û ✟ óö ✻ ✂ ✍ ☎✘ó☞ù✯❾ç✏ ✟ ✯❾ç✍ û ✟ óö ✻ ✂ ✏ ☎✣ó☞ù✯❾ç￾ ✟ ✯❾ç✏ û ù ❒ ❮ ✒ ❐ ✽ û ➪✣✉r❨✌☎✠❪ ❪ ❍☛❪❫ ✒ õ✣❥✧é☎ä✖◆✝✾✘✿✓❀✝❁✟ã✧ä✖➟✘➠✣➡✘➢ ú ❂❾❿ ✂ ✬ ❏ ú ❃❾❿ ✂ ✬ ✒ ❹✖❄ã⑧ ⑨✁⑩ ❅❇❆❈❉ ú ❂❾❿ ✂ ✬❋❊✝❮ û ❆❈❉✥●☎❍✖■✍❏✝❑ò✟▲✣▼✖◆❖▲ ú ù ú ❂❾❿ ✂ ✬ û❂ûð❅ñ✛ò ùóô P ✂ ￾ ✟ óö P ✂ ￾ û ✟ ùóô P ✂ ✍ ✟ óö P ✂ ✍ û ✟ ùóô P P ✂ ✡ ✟ óö P P ✂ ✡ û ✟ ùóô P P ✂ ✏ ✟ óö P P ✂ ✏ û ✟ ùóô P P P ✂ ￾ ✟ óö P P P ✂ ￾ û ✟ ùóô P P P ✂ ✍ ✟ óö P P P ✂ ✍ û ✟ ùóô P ◗ ✂ ✡ ✟ óö P ◗ ✂ ✡ û ✟ ùóô P ◗ ✂ ✏ ✟ óö P ◗ ✂ ✏ û ù ❒ ❮ ✒ ❑ ❮ û ü✸Ú✘Û✣Ü✣Ý☞Þ✸ß✧î ð☞ñ✛ò ùóô ✻ ✂ õ ✟ óö ✻ ✂ õ û✌ü☎❘✝❙✿ü✛Ü✣Ý✍❚✣û➋ø✔çõ ù ú ❂❾❿ ✂ ✬ û ø ❆❯❉ ú ❃❾❿ ✂ ✬✂❊☎❮ û ❆❯❉✥●☎❍✖■✍❏✝❑ò✟▲❱▼✝◆❖▲ ú ù ú ❃❾❿ ✂ ✬ û❂ûð❅ñ✛ò ùóô P ✂ ✡ ✟ óö P ✂ ✡ û ✟ ùóô P ✂ ✏ ✟ óö P ✂ ✏ û ✟ ùóô P P ✂ ￾ ✟ óö P P ✂ ￾ û ✟ ùóô P P ✂ ✍ ✟ óö P P ✂ ✍ û ✟ ùóô P P P ✂ ✡ ✟ óö P P P ✂ ✡ û ✟ ùóô P P P ✂ ✏ ✟ óö P P P ✂ ✏ û ✟ ùóô P ◗ ✂ ￾ ✟ óö P ◗ ✂ ￾ û ✟ ùóô P ◗ ✂ ✍ ✟ óö P ◗ ✂ ✍ û ù ❒ ❮ ✒ ❑ ❒ û ü✸Ú✘Û✣Ü✣Ý☞Þ✸ß✧î ð☞ñ✛ò ùóô ✻ ✂ õ ✟ óö ✻ ✂ õ û✌ü☎❘✝❙✿ü✛Ü✣Ý✍❚✣û➋ø✔çõ ù ú ❃❾❿ ✂ ✬ û ø