微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 13 Riemann流形上的平行移动 性质1.5( Riemann流形上平行移动的基本性质) 1.平行移动保持内积不变,即对vX(t),Y(t)∈(TM),满足V)Xx=V(Y=0∈ 6(TM),则有 d d(x,YrM(t)=0∈R; 2.沿测地线平行移动向量场同测地线切向量之间的夹角在平行移动中保持不变 证明可基于直接计算,证明此性质 1.由平行移动方程V)X=VY=0∈6∞(TM,有 (t)+XXk=0,=1,…,m t()+yy=0.=1,…,m 计算 ￠X,Y)m(1)=元(0xY)() dr(t)xr+gi dt (tr+gi-fidrj (a)aPxr-gii Ipgi'rr-gij TpgiPr'r9 TnailiPX'y 由此可得 (X, YTM(t) 又由 0, 亦即, Riemann流形上平行移动保持内积不变等价于度量张量的协变导数为零.故此性质 由 Riemann流形的几何性质决定 2.由测地线方程以及平行移动方程,有 ()=0,以及V()X=0 由性质(1)可知 (i(t), X(tTM=i(tlTM x(t)ltm cos(i(t), X(t)) 为常数,而(t)lrM和|X(t)rM同样为常数,因此cos((t),X(t)在平行移动中同样为常微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 1.3 Riemann 流形上的平行移动 性质 1.5 (Riemann 流形上平行移动的基本性质). 1. 平行移动保持内积不变, 即对 ∀ X(t), Y (t) ∈ C ∞(TM), 满足 ∇γ˙ (t)X = ∇γ˙ (t)Y = 0 ∈ C ∞(TM), 则有 d dt ⟨X, Y ⟩TM (t) = 0 ∈ R; 2. 沿测地线平行移动向量场同测地线切向量之间的夹角在平行移动中保持不变. 证明 可基于直接计算, 证明此性质. 1. 由平行移动方程 ∇γ˙ (t)X = ∇γ˙ (t)Y = 0 ∈ C ∞(TM), 有    dXi dt (t) + Γ i jkXjXk = 0, i = 1, · · · , m, dY i dt (t) + Γ i jkY jY k = 0, i = 1, · · · , m. 计算 d dt ⟨X, Y ⟩TM(t) = d dt ( gijXiY j ) (t) = dgij dt (t)XiY j + gij dXi dt (t)Y j + gijXi dY j dt (t) = ∂gij ∂xp (x) ˙x pXiY j − gijΓ i pqx˙ pXqY j − gijΓ j pqx˙ pXiY q = [ ∂gij ∂xp (x) − gqjΓ q pi − giqΓ q pj] x˙ pXiY j = [ ∂gij ∂xp (x) − Γpi,j − Γpj,i] x˙ pXiY j . 由此可得 d dt ⟨X, Y ⟩TM(t) = 0 ⇔ ∂gij ∂xp (x) = Γpi,j + Γpj,i. 又由 ∂gij ∂xp (x) = Γpi,j + Γpj,i ⇔ ∇pgij = 0, 亦即, Riemann 流形上平行移动保持内积不变等价于度量张量的协变导数为零. 故此性质 由 Riemann 流形的几何性质决定. 2. 由测地线方程以及平行移动方程, 有 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = 0, 以及∇γ˙ (t)X = 0. 由性质 (1) 可知 ⟨γ˙(t), X(t)⟩TM = |γ˙(t)|TM |X(t)|TM cos( ˙γ(t), X(t)) 为常数, 而 |γ˙(t)|TM 和 |X(t)|TM 同样为常数, 因此 cos( ˙γ(t), X(t)) 在平行移动中同样为常 数. 6