教学内容 以2L为周期的傅氏级数 7=2,∴:D=2x=代入傅氏级数中 nsl a cos nor in niox 定理设周期为2的周期函数∫(x)满足收敛 定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=a+∑anos"+sin"n 其中系数anb为 a=2(x)o.x,(n=012… bn=元,f(x)smn ,(n=1,2,…) (0如果/(x)为奇函数则有f(x)=∑bsin", 其中系数b为b f(x)sin dx (n (2)如果(x)为偶函数则有f(x)22+∑ancs1 其中系数a为an=(xont(m=012,) 证明令 1<x<l→-x<z≤丌 设()=()=F(2.F()以2为周期 F(=)=+2(a, cosn:+b, sin n=), 其中an=-「F() cos nza, F(z)s F(=)=f(x) 22 教 学 内 容 一、以 2L 为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l    = = 代入傅氏级数中 ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n  n    = + + 定理的条件 则它的傅里叶级数展开 式为 定理 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n     = = + + 其中系数 an , bn为 ( ) cos , ( 0,1,2, ) 1 =  =  − dx n l n x f x l a l l n  ( )sin , ( 1,2, ) 1 =  =  − dx n l n x f x l b l l n  (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1   = = n n l n x f x b  ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n  =  其中系数 为 (n =1,2, ) (2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0   = = + n n l n x a a f x  dx l n x f x l a a l n n  = 0 ( ) cos 2  其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z  令 = −l  x  l  −  z , ( ) ( ) F(z), lz f x = f =  设 F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n +  = ( )sin . 1 ( ) cos , 1   − − = =       b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n F(z) f (x) l x z = =  