例5.4.6求f(x)=ln(1+x)在x=0处的 Taylor公式。 解由于ln(1+x) ,设ln(1+x)的 Taylor公式为 1+x hn(1+x)=a0+a1x+a2x2+…+anx"+o(x"), 则由定理54 [h(1+x)=a1+2a2x+3a3x2+…+nanx"+o(x)。 由于[n(1+x)=,,而由例54.3的(b) 的 Taylor公式为 1+ =1-x+x2-x3+x +(-1)"x”+o(x n-1 1+x 比较两式,便得到 j=1,2,…,n, 同时可以明显看出ao=lnl=0,因此可得 +…+(-1) o(x") 234例 5.4.6 求 f (x) = ln(1+ x)在x = 0处的 Taylor 公式。 解 由于[ln(1 )] 1 1 +  = + x x ，设ln(1+ x)的 Taylor 公式为 ln(1 ) ( ) 2 0 1 2 n n n + x = a + a x + a x +  + a x + o x ， 则由定理 5.4.1, [ln(1 )] 2 3 ( ) 2 1 1 1 2 3 − − +  = + + + + + n n n x a a x a x  na x o x 。 由于[ln(1 )] 1 1 +  = + x x ，而由例 5.4.3 的(b)， 1 1+ x 的 Taylor 公式为 1 ( 1) ( ) 1 1 2 3 4 −1 −1 −1 = − + − + − + − + + n n n x x x x x o x x  ， 比较两式，便得到 a j j j = − − ( 1) 1 ， j = 1, 2,  , n， 同时可以明显看出 a0 = ln1 = 0，因此可得 ( 1) ( ) 2 3 4 ln(1 ) 1 2 3 4 n n n o x n x x x x + x = x − + − + + − +  −