由归纳假设,存在n-2阶正交矩阵T2,使得 T2 A212=diag(Er, -Es COS a1 -sIno Cos al -sin ap SIn Q1 COs a SIn a1 Cos aI 令T=(EO o E 则T为正交阵且 T AT= diag COs O COs QL sin al COs al 定理8.4.4设φ是n维欧氏空间V的正交变换,则存在一组标准正交基,使得φ在此基下的矩阵是 diag(Er, -Es (caca)…( COS al 其中r+s+2l=m 习题 1.写出§8.1的例1和例2中Rn作为不同两种内积的不同的欧氏空间之间的同构映射 2.(1)设A是奇数阶正交矩阵,且detA=1,则1是A的一个特征值; (2)设A是n阶正交矩阵,且detA=-1,则-1是A的一个特征值 3设7是n维欧氏空间V中一单位向量,定义y(a)=a-2(m,a)n,证明 )是正交变换(称为镜面反射) (3)存在V的一个标准正交基,使得φ在这个标准正交基下的矩阵 4.如果Ⅴ上的正交变换φ以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间Ⅴ1的维数为 那么φ是镜面反射 5.设a,B是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明存在一镜面反射φ,使得φ(a)=B 6.证明:n维欧氏空间中任意正交变换都可以表为一系列镜面反射的乘积 7.设φ是n维欧氏空间V上的线性变换,对于任意的a,B∈V,都有(y(a),(6)=(a,B).证 明:φ是线性变换,因而是正交变换 复习题 1.设a1,a2,……,am和B1,B2,…,Bm是欧氏空间V的两组向量,满足 (a;ay)=(B,), 1≤i,j≤m.证明 span(a1,a2,…,am)span(1,B2,…,Bm) 1x、2.设A∈Rmxn,b∈Rm.求证:线性方程组AX=b有解的充分必要条件是b与线性方程组 X=0的解空间在Rn中正交C>vJ J n − 2 RQOWO T2, Æ& T −1 2 A2T2 = diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sinαl cos αl  ). h T = T1  E2 O O T2  , K T "QOO~ T −1AT = diag( cos α − sinα sin α cos α  , Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sinαl cos αl  ). el 8.4.4’ ϕ  n #y\L V 'QO DKJ8`Æ\QOEÆ& ϕ JE)'WO diag(Er, −Es,  cos α1 − sinα1 sin α1 cos α1  , · · · ,  cos αl − sinαl sin αl cos αl  ), {Y r + s + 2l = n. tq 1. 1 §8.1 'a 1 Aa 2 Y R n a" ZwF''y\LTL';A  2. (1) A |RQOWO~ detA = 1, K 1  A '88PU (2) A  n RQOWO~ detA = −1, K −1  A '88PU 3. η  n #y\L V Y8"$0d+< ϕ(α) = α − 2(η, α)η. Rp (1) ϕ QO D ("Vo2 ); (2) ϕ 2 = idV ; (3) J V '88Æ\QOEÆ& ϕ JN8Æ\QOE)'WO  −1 O O En−1  . 4. ? V 'QO D ϕ : 1 a"88PU~FPU 1 'P℄\L V1 '#" n − 1, uk ϕ Vo2  5. α, β  n #y\L V Y 8'"$0dRpJ8Vo2 ϕ, Æ& ϕ(α) = β; 6. Rp n #y\LY;QO D,[:"8(eVo2 'F 7. ϕ  n #y\L V '.2 D/F;' α, β ∈ V , ,D (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β). R p ϕ .2 D=0QO D ftq 1. α1, α2, · · · , αm A β1, β2, · · · , βm y\L V ' `0dj_ (αi , αj ) = (βi , βj ), 1 ≤ i, j ≤ m. Rp span(α1, α2, · · · , αm) ∼= span(β1, β2, · · · , βm). 2. A ∈ R m×n, b ∈ R m. R.23` AX = b DT'46M b G.23` AT X = 0 'T\LJ R n YQO 5