D0I:10.13374/i.issn1001053x.2002.03.081 第24卷第3期 北京科技大学学报 VoL.24 No.3 2002年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2002 弹性固体材料中的空穴萌生与增长 尚新春》 程昌钧) 1)北京科技大学数学力学系，北京1000832)上海大学力学系，上海市应用数学与力学研究所，上海200072 摘要建立了描述弹性固体材料中空穴萌生与增长的非线性数学模型，获得了空穴萌生时 控制参数临界值的精确计算公式和空穴半径增长的精确表达式.在大变形几何分析中采用了 对数应变度量，并且应用了Hook弹性固体材料的本构关系.数值分析结果表明：当材料不可 压时空穴萌生的临界载荷将略低于neo-Hooke不可压超弹性材料的相应计算结果，并且在空穴 萌生后空穴半径将迅速增大，这与细观损伤力学和超弹性材料的空穴分叉理论的结论相一致： 空穴萌生时环向应力将成为无限大：如果材料是弹塑性（韧性）材料，则会使得空穴附近发生塑 性变形，从而导致材料的局部损伤和破坏 分类号0343.5：0346.5；TB301;TG113 关键词材料不稳定性，空穴萌生，弹性大变形，精确解 1问题的提出 首先给出Blatz-Ko材料空穴分叉问题的精确解 析解以来，迄今仅有少数几个解析解问世6-" 通过金属材料的金相观察可知空穴萌生是 作者也曾研究过类橡胶材料空穴问题，最近 由于晶界滑移导致三叉晶界和夹杂二相粒子处 还得到了新的精确解析解川.有关类橡胶材料 的应力集中引起的.寻找确定金属材料空穴形 空穴问题的研究进展可参见Horgan的评论性 核的条件和探讨空穴增长的规律一直是金属材 文章网.另外，Hooke固体材料在力学上代表着 料学家们所关注的问题.从固体力学角度 金属材料等一大类线弹性材料，因此Hooke固 McClintock,Rice和Trace等人针对无限大理想 体材料的空穴分叉问题在材料不稳定性的研究 刚塑性材料的单一空穴进行了力学分析，得出 中就显得十分重要.在材料不可压的特殊情形 了空穴体积膨胀率随三轴拉伸变形而迅速增大 下（泊松比为1/2）球形空穴分叉解，最近已经由 的重要结论.Gent和Lindley早在1959年就已 金明、黄克服和武际可等人获得，.本文将针对 经在均匀密实的硫化橡胶材料的拉伸试验中发 一般的Hooke固体材料的球形空穴分叉问题， 现当载荷达到某一临界值时材料内部会出现空 采用不同的数学模型和求解方法来给出问题的 穴的突然萌生四.但是类橡胶（超弹性）材料空穴 精确解析解 萌生和增长的基本理论直到1982年才由Ball 创立1.与其他空穴理论不同的是Bll的理论以 2空穴萌生问题的分叉理论模型 非线性弹性力学为基础，并且将空穴萌生和增 长的数学模型归结为非线性分叉问题.Ball给 考虑一个半径为R的球体的大变形拉伸问 出了一个计算临界载荷的广义积分表达式，在 题.球体上一点变形前后的位置分别可由物质 neo-Hooke材料情形下由此表达式算得的临界 球坐标(R,⊙，)和空间球坐标(，9，φ)来标定.假 载荷数值结果与实验值吻合较好，然而，对于 定变形是球对称的，则 可压缩超弹性材料研究表明，是否会有空穴分 r=R),=⊙，b=Φ(0≤R≤R,0≤⊙≤2π，0≤Φ≤π)(1) 叉则强烈地依赖于材料应变能函数的形式，而 并且球体的材料是弹性固体，其真应力满足 且由于空穴分叉问题所固有的非线性性质很难 Hooke本构定律： E 给出临界载荷的一般显式表达式.自从Horgan o.+vii-2w1-ve+2we】 (2) E 收稿日期2001-12-31尚新春男.43岁，理学博士.教授 *国家自然科学基金资助课题(N0.19802012),教育部回国留学 =o-1+p1-2we,+e） 人员科研资助基金和教育部高等学校骨干教师科研资助基金 其中，E0是材料的弹性模量，0<1/2是材料第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 叭， 弹性 固体材料中的空穴萌生与增长 尚新春 ” 程 昌钧 ， 北京科技大学数学力学系 ， 北京 上海大学力学系 ，上海市应用数学 与力学研究所 ， 上海 摘 要 建立 了描述弹性 固体材料 中空 穴萌生 与增 长 的非线性数学模型 ，获得 了空 穴 萌生 时 控制参数临界值的精确计算公式和空 穴半径增长 的精确表达式 在大变形几何 分析 中采用 了 对数应变度量 ， 并且 应用 了 弹性 固体材料 的本构关系 数值分析结果表 明 当材料不 可 压 时空 穴萌生 的临界载荷将略低于 一 不 可 压超弹性材料 的相应计算结果 ，并且在空 穴 萌生后 空 穴半径将迅 速增大 ， 这与细观损伤力学和超弹性材料 的空穴分叉 理论 的结论相一致 空 穴萌生 时环 向应力将成为无限大 如果材料是 弹塑性 韧性 材料 ， 则会使得空穴 附近发生 塑 性变形 ，从而导致材料 的局部损伤和破坏 分 类号 关键词 材料不稳定性 ， 空 穴萌生 ， 弹性大变形 ， 精确解 问题的提 出 通 过金属 材 料 的金相观察可 知空 穴萌生 是 由于 晶界滑移导致三叉 晶界和 夹杂二相粒子处 的应力集 中引起 的 寻 找确定金属 材料空 穴形 核的条件和探讨空 穴增长 的规律一直是金属材 料 学 家 们所关 注 的 问题 ‘，〕 从 固 体 力 学 角 度 ， 和 等人针对无 限大理想 刚塑 性 材 料 的单一 空 穴进行 了力学分析 ， 得 出 了空 穴体积膨胀率随三轴拉伸变形 而迅速增 大 的重要结论 和 早在 年就 已 经在均匀 密实 的硫化橡胶材料 的拉伸试验 中发 现 当载荷达到某一临界值时材料 内部会 出现空 穴 的突然 萌生 ’ 但是类橡胶 超弹性 材料空 穴 萌生 和 增 长 的基本理论直到 年才 由 创立 ‘ 与其他空 穴理论不 同的是 的理论 以 非线性 弹性 力学 为基础 ， 并且将空 穴 萌生 和 增 长 的数学模型 归结 为非线性分叉 问题 给 出 了一 个计算 临界载荷 的广义 积分表达 式 ， 在 。 一 材料情形 下 由此表达式算得 的 临界 载荷数值结果与实验值吻合较好 ‘ ， 然 而 ， 对于 可 压缩 超弹性材料研究表 明 ， 是 否 会有空 穴 分 叉 则 强 烈地依赖 于 材料 应变能 函数 的形式 ， 而 且 由于空 穴 分叉 问题所 固有 的非线性性质很难 给 出临界载荷 的一 般显 式表达式 自从 首先给 出 材料空 穴 分叉 问题的精确解 析解 以来 【 ，迄今仅有 少数几个解析解 问世 ‘ 一 ” 作者也 曾研究过类橡胶材料空穴 问题 ‘刃 ， 最 近 还 得到 了新 的精确解 析解 ，， ” 有关类橡胶材料 空 穴 问题 的研究 进展可参见 的评论性 文章 「，” 另 外 ， 固体材料在力学 上代表着 金 属材 料等一 大类线弹性材 料 ， 因 此 固 体材料 的空 穴分叉 问题在材料不稳定性 的 研究 中就显 得 十分重要 在材 料不 可 压 的特殊情形 下 泊松 比为 球形空 穴分叉 解 ， 最近 已经 由 金 明 、 黄克 服和武 际可等人获 得 〔， 本文将针对 一 般 的 固体材料 的球形 空 穴分叉 问题 ， 采用不 同的数学模型 和求解方法来给出问题 的 精确解析解 空穴萌生 问题的分叉理论模型 考虑一个半径 为 。 的球体的大变形拉伸 问 题 球体上一 点变形 前后 的位置分别可 由物质 球坐标 ，口 ，哟 和 空 间球坐 标， 劝 来标定 假 定变形是球对称 的 ，则 二 ， 卜叹沪一必 ‘ ‘ ，‘ 曰‘ ， ‘ 必 动 并 且球体 的材 料 是 弹性 固 体 ， 其 真应 力 满 足 本构定律 收稿 日期 一 尚新春 男 ， 岁 ， 理学博士 ， 教授 国家 自然科学基金资助课题困 ， 教育部 回国 留学 人 员科研资助 基金和教育部 高等学校骨于 教师科研资助基金 口 尸 石 爪 丁万一一，不尸下 十 一乙 〔 一 刃尽 二 。 〕 丙 ‘ 一 尽十￡办 其 中 ， 乡 是材料 的 弹性模 量 ， 是 材 料 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2002．03．081