Vol.24 尚新荞等：弹性固体材料中的空穴萌生与增长 。381· 的泊松比.这里采用真（对数）应变度量： i=)=exp(-∫P)ds) (14) 6=n品6-a=h7 (3) 因d/d。<0,所以存在惟一的反函数。=().另 变形后位形上的真应力平衡方程为： 外，由(7a)和(12)得到空穴半径的表达式： 0+2a-时-0 6=a=R1-t6()'exp(-∫0s)ds)(15) (4) 注意到在空穴萌生的临界状态，即当λ=时有 在球体表面上给定位移的边界条件为： 6=0.由(15)知11)=1.再由(14)得到控制参数 r=R。(>1是边界位移控制参数)(5) λ的临界值为： 另外，在球体中心R=O处要求满足如下条件之 =(v)=expl-P(s)ds) (16) 至此，一般的Hooke弹性固体材料球形空穴分 (1)若无空穴萌生，即球体中心点不动，则有： 叉的精确解析解已由(11)(16)式给出. r=0 (6) (2)若球体中心处有空穴萌生，则有： 4 数值结果与讨论 "=6>0(6为待定的空穴半径) (7a) ,=0(空穴表面自由) (7b) 由式(13)知在空穴萌生的临界状态，球面 显然，r=R是边值问题(1)6)的解，它对应 上的径向真应力为：=昌以。.因此，如果 于球体的均匀变形状态.边值问题(1)(5)和(7a), 在球面R=R。上给定死载荷p>0,即有名义应力 (7b)给出了求解Hooke材料球形空穴萌生分叉 ∑，=p,用真应力表示为o,(Rr)}p.如果给定真 问题的数学模型 应力载荷，=q.则分别可得量纲为一载荷的临 界值为： 3问题的精确解析解 Psds·exp-2oPs)ds) 引入参数变换， E (1-2w) (17) R=R(),r=r().1=R dr r dR (8) P()ds 可将基本方程(2)(4)转换为参数形式的常微分 E (1-2w) 基于式(16)和(17)的数值积分结果列入表1. 方程组： dR(t)R(t)dr(t)r(t) 表1空穴萌生时控制参数的临界值 dt1-t)F(t)'dt 1-1)F(t) (9) Table 1 The critical values of control parameters for the 其中R0=a-90a=B- 二再由边 cavitation 界条件(5)给出定解条件： 00.10.20.30.40.5 t)=R,rt)=R,(t为待定常数)(10) 1(给定位移)5.6423.2102.0951.5271.192 1 分别对9)式中2个方程分离变量后积分， PE(给定死载荷)55.0715.035.4122.3991.2460.731 pelE 并且利用条件(10)得到变形前后径向坐标的参 1.7301.4581.2331.0420.8770.731 (给定真应力载荷) 数形式解： R0=R2二9exp(-lss)D） 应该指出在P()中含有参数v,对于不可压 材料情形(v=1/2)有p(t)=0,这样导致(17)的右端 r0=R)exp(-」osa) (12) 将成为0/0型不定式.求当v一12时的极限，即 其中=QoHp0.Q0=琴"a 得如下精确值： a(1-t)-2Btlnt P0)=2p. aa1-i-2nr,参数1的变化范闱是 Int ]rinds= 4 C'Ins 2 0st≤to≤l., 9J1-,ds=27t(≈0.7310(18) 将(11)，12)代入(2)，(3)，并利用式(8)可得径 作为一个比较，neo-Hooke材料球形空穴萌 向和环向应力的参数形式解： 生的临界我荷为叫，会-名0,83. o0-2 ex(Psds)】 可见不可压Hooke弹性材料的临界载荷值 (13) 略低于neo-Hooke不可压超弹性材料的临界载 od)-c.)n 荷值.当边界控制参数超过其临界值时球体中 由式(11)知，当R=0时t=0,再由(7b)和(13)得： 心处萌生出空穴.在球体表面给定位移的边界尚新 春等 弹性 固体材料 中的空 穴 萌生 与增 长 的泊松 比 这 里采用 真 对数 应变度量 ， 称 二 ‘ 刁灭 ， “ “ 场 ’ 万 变形后 位形 上 的真应 力平衡方程 为 叮 ， 、 。 一了 ，十－气 一 氏 口厂 厂 在球体表 面 上 给定位移 的边 界条件 为 从 。 以 是边界位移控制参数 另 外 ， 在球体 中心 二 处 要求满足 如下 条件之 若无空 穴萌生 ， 即球体中心 点不动 ， 则有 若球体 中心 处 有空 穴 萌生 ， 则有 二 咨 必为待定 的空 穴半径 空 穴 表面 自由 显然 ， 三从是边值问题 卜 的解 ， 它对应 于球体的均匀变形状态 边值问题 卜 和 ， 给出 了求解 材料球形 空 穴萌生 分叉 问题 的数学模 型 一 一 而 一 价 因以 ， 所 以存在惟一 的反 函数 二 以 另 外 ， 由 和 得 到 空 穴半 径 的表达式 。 一 。以 、 。 卜。 以 ， 。 一 上 ‘从， 。 。 巧 注 意到在 空 穴 萌 生 的临界状 态 ， 即 当义 凡 时有 由 巧 知 ，。 一 再 由 得到 控制参数 又的临界值为 “ 。 一 “ 。 、 一 一 工 ’ ‘ 至 此 ， 一 般 的 弹性 固体材料球 形 空 穴分 叉 的精确解 析解 已 由 卜 式给 出 问题的精确解析解 引人 参数变换 【 ， ， 、 ， 、 乃 兰 牛长 、 ” 产 可将基本方程 一 转换 为参数形 式 的常微分 方程 组 数值结果与讨论 由式 知在空 穴 萌生 的临界状态 ， 球 面 上 的径 向真应 力为 动 一 黑 三 、 因此 如果 一 目 月山 ’， 切 ’ 、 “ ”， 一 犷 “ ’ 护“ ’ 产 州 卜 在球 面 二 。 上 给定死载荷 ， 即有名义 应 力 二 二 ， 用 真应 力 表示 为 氏 加 如果 给定真 应 力载荷 ， 则分别可 得量纲 为一 载荷 的临 界值为 ‘ · 一 ’ 卫些 。 ‘ 、 。 ，一 “ “ 扒 “ 。 ‘ 、 “ ， 少 一 、 工 ’ 一 西厂一 刃阵 乃可 ， 一 ’ 叹 一 、 二 、 、 ， 。 」澳产 日 。 吸 一 乙口 石 节 ， 、 ， 、 ， ’ 一 一 了 ’ 一 一 ‘ 再 由边 界 条件 给 出定解条件 ， 从 。 为待定 常数 分 别对 式 中 个方 程分离变量后 积分 ， 并 且利用 条件 得到 变形前后 径 向坐 标 的参 数形式解 ，卜 。 青 ， ’· 扮 ， ’… ‘ 一 工 “ ’ ·， ， ，‘ · ，卜 又 。 扮 一。 一 工 乙 」 。 · ‘ 基于式 和 的数值积分结果列人表 表 空 穴 萌生 时控制 参数 的临界值 凡 给定位移 挤 给定死载荷 八压 给定真应力载荷 其 中洲 二 ， 丝 一 一 一 一 ’ 应该指 出在 中含有参数 ， 对于 不 可 压 材料情形 有抓 三 ， 这样导致 的右端 将成 为 型 不 定式 求 当 一 时 的极 限 ， 即 得 如下 精确值 ’ 云门二 叮二 网而 ’ 参数 的变化 范 围是 借 一 李 一 合买〔黔 “ 厂】必 里 。 一 口、了 丛 兰 三 将 ， 代人 ， ， 并利用 式 可 得径 向和环 向应 力 的参数形式解 氏 一 念 ， “孤 工 ‘ ’ ·， ，〕 丙 一 。 一 ‘ 一 ， 畏 当 时 ， 再 由 和 得 ’ ， ， ， 八 ， ， ‘ 、 一 亏 六 一 护 二 作为一个 比较 ， 一 材料球形 空 穴萌 生 的 临界 载荷 为 令 一 会 二 可 见不 可 压 弹性材料 的 临界 载荷值 略低 于 一 不 可 压超弹性材 料 的 临界载 荷值 当边 界控制参数超过其临界值时球体 中 心 处 萌生 出空 穴 在球体表 面 给定位移 的边界 以︸泪 、﹃产几几 、户 由式