证明因为B=a1+a2+…+am,所以(3-a1,B-a2,…,B-am)=(a1,a2…,anm)4其中A 01..1 10.1 于是A=(-1)m-1(m-1)m>1时，A可逆 11..0 充分性令k(B-a1)+k2(8-a2)+…+km(B-am)=0,则(a1,2,,am)4Ak1,2,…,kn/=0.于 是由a1,2,·,am线性无关得A(k1,2,…,kmy=0.由A可逆得(k1,2,…,kmy=0,即k1=2=.= 0，因此3-Q1,-2，…，月-am线性无关. 必要性由A可逆得(a1,2, ,am)=(8-a1,3- a2, ,B-am)A1,类似于充分性中的推理得 当B-a1,3-a2,…,B-am线性无关时a1,a2,…,m线性无关 例24设A为m×n型矩阵，A-0为A=b≠0)的导出方程组，Pm为数域P上n为列向量空间 令S={传∈PIAE=0,SE∈PmlA5=}. ()证明：S为P"的子空间，S不是P"的子空间：()若5不是空集，作为向量组S与5的秩有何关系，证 明你的结论。 证明(1)（略） (2)结论是：r⑤)=r(S)+1.理由如下： 设r(⑤)=r,61,52,,6,是AX=bb≠0)的r个线性无关的解.则-6，…，6，-G是导出组AX= 0的r一1个线性无关的解否则存在r-1个不全为零的数2，…，入，使得 (2-)+· +, -6)=0,即26 +Ar6-(2 )91=0, 因 加++=0，于是=…==0矛 因此r(S)-1≤r(S)》. 另一方面，设r(S)=s,51,52,…,,是AX=0的s个线性无关的解，5o是AX=b(b≠0)的一个特解。 则51+0，…，6+0，·，6。+o,o是AX=bb≠0)的s+1个线性无关的解.否则存在s+1个不全为零的 数1，…，k,k+1使得k1(1+5o)+…k(+a)+k+150=0,因此11++k+(1+…+k+k+1)0=0. 于是Ak11++k,+(+ k+k+1o= ++k+1)=0,因此1 +k+k+1于 0.这样得到k16+…+k.6=0.由6，，…，线性无关得=…=k,=0,从而k+1=0.矛盾 故r(S)+1≤r(⑤). 综上得r(③=r(S)+1. 第8页  y² œèβ = α1 + α2 + · · · + αm, §±(β − α1, β − α2, · · · , β − αm) = (α1, α2, · · · , αm)A, Ÿ•A =  0 1 · · · 1 1 0 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 0   . u¥|A| = (−1)m−1 (m − 1), m > 1û, Aå_. ø©5 -k1(β −α1)+k2(β −α2)+· · ·+km(β −αm) = 0, K(α1, α2, · · · , αm)A(k1, k2, · · · , km) 0 = 0. u ¥dα1, α2, · · · , αmÇ5Ã'A(k1, k2, · · · , km) 0 = 0. dAå_(k1, k2, · · · , km) 0 = 0, =k1 = k2 = · · · = km = 0, œdβ − α1, β − α2, · · · , β − αmÇ5Ã'. 7á5 dAå_(α1, α2, · · · , αm) = (β − α1, β − α2, · · · , β − αm)A−1 , aquø©5•Ìn β − α1, β − α2, · · · , β − αmÇ5Ã'ûα1, α2, · · · , αmÇ5Ã'. ~24 Aèm × n.› , Ax = 0èAx = b(b 6= 0)—êß|, P nèÍçP˛nèï˛òm. -S = {ξ ∈ P n|Aξ = 0}, S{ξ ∈ P n|Aξ = b}. (i) y²: SèP nfòm, Sÿ¥P nfòm; (ii) eSÿ¥ò8, äèï˛|SÜSùk¤'X,y ²\(ÿ. y²:(1) (—) (2) (ÿ¥: r(S) = r(S) + 1. ndXe: r(S) = r, ξ1, ξ2, · · · , ξr¥AX = b(b 6= 0)ráÇ5Ã'). Kξ2 − ξ1, · · · , ξr − ξi¥—|AX = 0r − 1áÇ5Ã').ƒK3r − 1áÿè"Íλ2, · · · , λr¶ λ2(ξ2 − ξ1) + · · · + λr(ξr − ξ1) = 0,=λ2ξ2 + · · · + λrξr − (λ2 + · · · + λr)ξ1 = 0, œdλ2 = · · · = λr = λ2 + · · · + λr = 0, u¥λ2 = · · · = λr = 0, gÒ. œdr(S) − 1 ≤ r(S)). ,òê°, r(S) = s,ξ1, ξ2, · · · , ξs¥AX = 0sáÇ5Ã'), ξ0¥AX = b(b 6= 0)òáA). Kξ1 + ξ0, · · · , ξi + ξ0, · · · , ξs + ξ0, ξ0¥AX = b(b 6= 0)s + 1 áÇ5Ã').ƒK3s + 1áÿè" Ík1, · · · , ks, ks+1¶k1(ξ1+ξ0)+· · · ks(ξs+ξ0)+ks+1ξ0 = 0,œdk1ξ1+· · ·+ksξs+(k1+· · ·+ks+ks+1)ξ0 = 0. u¥A(k1ξ1+· · ·+ksξs+(k1+· · ·+ks+ks+1)ξ0) = (k1+· · ·+ks+ks+1)b = 0, œdk1+· · ·++ks+ks+1 = 0. ˘k1ξ1 + · · · + ksξs = 0. dξ1, ξ2, · · · , ξkÇ5Ã'k1 = · · · = ks = 0, l ks+1 = 0.gÒ. r(S) + 1 ≤ r(S). n˛r(S) = r(S) + 1. 1 8 ê