七章留数定理应用应用 分。 72有。三角函的积分 有理三角函数积来,形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin6,cos6,有理函数,在积来间上是连续,,作变换z=e°,则 平作 相应积来路径则变2平面上单位圆圆周|2=1·于是, 1z2 -R z|<1 有理 数(sin,cos)在积来间0.2上连续,就保证了有理函数h/2-12+1 在单位圆 化圆周上无奇点 例74计算积来I 1+EcoS 86, El<1 解仿照上面,方法步骤,我们有 1+EcoS 6 1+c2+1i2 dz |=1E22+22+Ei E22+22+E -|<1 z=(-1+√1-z)/ 这里在计算留数时,要注意函数2/(2+22+E)有两个极点, 但由于它们,乘积。1,所以不难判断,起定只有起个极点,z=(-1+Ⅵ1-2)/,处于单位圆 内￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §7.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺ ♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★ ✺ ♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  dz iz = 2π X |z|<1 res  1 z R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  . ✺ ♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺ ♠❃❄ R  z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z  ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 7.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res  2 εz2 + 2z + ε  = 2π · 2 2εz + 2     z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ➼➘❅ ↔↕ ◆❄♦❂✪❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺ ➤ ✼ ➎ ❀ ❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓❡❖P◗❂✬❧✩✺ ✬ ✼ ➎ ❀ ❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅ ❆✷