第七章留数定理及其应用 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★第22-27页为教学叁考资料,不讲授
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F ☛ 22–27 ☞✌✍✟✎✏✑ ✒ ✓✔✝✞
七章留数定理及其应用 第七章留数定理及其应用 §71留数定理 留数定理设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线若除有限个孤立奇点bk,k 2,3,…,n外,函数f(2)在G内单值解析,在石中连续,且在C上没有f(z)的奇点,则 f(2)dz=2ri∑resf(bk) ke resf(bk)称为f(2)在bk处的留数,它等于f(2)在bk的邻域内 Laurent展开中(z-bk)-1的系数 o7 图71留数定理 证如图7.1,围绕每个奇点b作闭合曲线k,使^均在G内,且互不交叠,则根据复连 通区域 Cauchy定理及函数作 Laurent展开时的系数公式,就有 k=1 f(bk) k=1 留数定理告诉我们,解析函数的围道积分值与函数在围道内的奇点直接有关.为了 计算解析函数的围道积分值,只需计算出函数在围道内奇点处的留数 ★求f()在奇点b处的留数,原则上说,就是求f(2)在z=b的邻域内 Laurent展开中(z-b)-1 项的系数 ★在极点的情况下,可以通过微商计算求留数 阶极点的情形设b点是f(x)的一阶极点,则在b点的邻域内, f(x)=a-1(z-b)-1+a+a1(z-b)+a2(z-b)2+
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 1 ☞ ✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗ §7.1 ✘✙✚✛ ✜✢✣✤ ✥✦✧ G ★✩✪ C ✫✬✭✮✯✰★✱✲✳✴ ✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀ bk, k = 1, 2, 3, · · · , n ❁❂❃❄ f(z) ❅ G ❆✲❇❈❉❂❅ G ❊❋●❂❍❅ C ■❏✺ f(z) ★ ✿❀❂❑ I C f(z)dz = 2π i Xn k=1 res f(bk). res f(bk) ▲✫ f(z) ❅ bk ▼★ ◆❄❂❖P◗ f(z) ❅ bk ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − bk) −1 ★❯❄ a (k) −1 ✷ ❱ 7.1 ❲❳❨❩ ❬ ❭❪ 7.1 ❂❫❴❵✼✿❀ bk ❛✳✴ ✵✶ γk ❂❜ γk ❝❅ G ❆❂❍❞❡❢❣❂❑❤✐❥❋ ❦✦✧ Cauchy ❧♠♥❃❄❛ Laurent ❙❚♦★❯❄♣q❂r✺ I C f(z)dz = Xn k=1 I γk f(z)dz = 2π i Xn k=1 a (k) −1 = 2π i Xn k=1 res f(bk). st✉✈✇①②③❂④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❸⑥ t❹ ⑧⑨ ❺⑦❻❼❽❾❿ ➀✷➁ ➂ ➃➄④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❂➅➆➃➄ ➇⑥ t❹ ⑧⑨ ❺❻❼➈⑦ st✷ F ➉ f(z) ❅ ✿❀ b ▼★ ◆❄❂➊ ❑■➋❂r➌➉ f(z) ❅ z = b ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − b) −1 ➍ ★❯❄✷ F ❅➎❀ ★➏➐➑❂➒➓❦➔→➣↔↕➉ ◆❄✷ F ➙➛➜➝➞➟➠ ✥ b ❀ ➌ f(z) ★✬➡➎❀ ❂❑❅ b ❀ ★❘✧ ❆❂ f(z) = a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + a2(z − b) 2 + · · · .
71留数定理 以(z-b乘展开式两端, (z-b)f(2)=a-1+a0(z-b)+a1(z-b)2+a2(z-b)3+ 所以 a-1=lim(z-b)f(a) ★特别常见的情况是f(z)可以表示为P(z)/Q(x),P(2)和Q(z)均在b点及其邻域内解析,b 是Q(2)的一阶零点,Q(b)=0,Q(2)≠0,P(b)≠0,则 a-1=im(2-b)f(2)=lim(2-b)P(2)P( Q(2)Q(b) 例71求 在奇点处的留数 解z=±i是它的一阶极点 resf(±i)=1 2zlz=士i 例72求 在奇点处的留数 解z=0是它的一阶极点 res f(0)=lim z ★高阶极点的情形设z=b是f(2)的m阶极点,m≥2 f(2)=a-m(z-b)-m+a-m+1(2-b) +a-1(z-b)-1+a0+a1(z-b)+ 两端乘上(z-bm, (2-b)mf(2)=a-m+a-m+1(2-b)+…+a-1(z-b)m-1 +a0(z-b)m+a1(2-b)m+1+ 这时a-1是(z-b)mf(2)的展开式中(2-b)m-1项的系数,故 (m-1)Id2m-(2-b)mf(a) 例73求1/(2+1)3在奇点处的留数 解z=±i是它的三阶极点 m/+)=正(+p d21 2!d2(z±i)
§7.1 ✄☎✆✝ ☛ 2 ☞ ➓ (z − b) ➢❙❚q➤➥❂ (z − b)f(z) = a−1 + a0(z − b) + a1(z − b) 2 + a2(z − b) 3 + · · · . ➦ ➓ a−1 = lim z→b (z − b)f(z). F ➧➨➩➫★➏➐➌ f(z) ➒➓➭➯✫ P(z)/Q(z) ❂ P(z) ➲ Q(z) ❝❅ b ❀ ♥➳❘✧ ❆❈❉❂ b ➌ Q(z) ★✬➡➵❀ ❂ Q(b) = 0 ❂ Q0 (z) 6= 0 ❂ P(b) 6= 0 ❂❑ a−1 = lim z→b (z − b)f(z) = lim z→b (z − b) P(z) Q(z) = P(b) Q0(b) . ➸ 7.1 ➉ 1 z 2 + 1 ❅ ✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★✬➡➎❀ ✷ res f(±i) = 1 2z z=±i = ∓ i 2 . ➸ 7.2 ➉ e iaz − e ibz z 2 ❅ ✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = 0 ➌❖★✬➡➎❀ ✷ res f(0) = lim z→0 z · e iaz − e ibz z 2 . = lim z→0 e iaz − e ibz z = i(a − b). F ➻➛➜➝➞➟➠ ✥ z = b ➌ f(z) ★ m ➡➎❀ ❂ m ≥ 2 ❂ f(z) = a−m(z − b) −m + a−m+1(z − b) −(m−1) + · · · +a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + · · · . ➤➥➢■ (z − b) m ❂ (z − b) mf(z) = a−m + a−m+1(z − b) + · · · + a−1(z − b) m−1 +a0(z − b) m + a1(z − b) m+1 + · · · . ➼ ♦ a−1 ➌ (z − b) mf(z) ★❙❚q ❊ (z − b) m−1 ➍ ★❯❄❂➽ a−1 = 1 (m − 1)! d m−1 dzm−1 (z − b) mf(z) z=b . ➸ 7.3 ➉ 1/(z 2 + 1)3 ❅ ✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★➾➡➎❀ ✷ res f(±i) = 1 2! d 2 dz 2 (z ∓ i)3 · 1 (z 2 + 1)3 z=±i = 1 2! d 2 dz 2 1 (z ± i)3 z=±i
七章留数定理及其应 第3页 2(-3)(-4(2+i) =士i ★函数在∞点的留数 对于∞点,定义 res f(oo)=2mi f, f(a)d 这里的C′是绕∞点正向(也就是顺时针方向)一周的围道,在围道内除∞点可能是f(x)的奇点 外别无奇点 resf(∞)并不是f(x2)在∞邻域内 Laurent展开中z1项的系数 resf(∞)s,1 f(zd 如() /()在=0点邻域内幂级数展开中项的系数 -f()在=0点邻域内幂级数展开中项的系数 f(2)在z=∞点邻域内幂级数展开中2-1项的系数 ★这个结果和有限远处不同之处: 1.从结果上说,函数∫()在∞点的留数,等于∫(z)在∞点邻域內幂级数展开中z-1项的 亲数乘以-1,这里多了一个负号 2.从概念上说,由于z-1项是属于f()在∞点邻域內幂级数展开式的正则部分,因此,即 使∞点不是∫(z)的奇点,resf(∞)也可以不为0.反之,即使∞点是∫(z)的奇点,甚至是一阶 极点,也可以为0 ★留数的应用—有理函数的部分分式 例.将函数 f(a) 1)(2-2)(z-3) 部分分式 A (z-1)(z-2)(2-3)z-1z-2z-3 三个待定常数,A,B和C,正好就是函数f(2)在一阶极点z=1,2=2和z=3点处的留数.因此 A (2-1)(2-2)(2-3)2
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 3 ☞ = 1 2!(−3)(−4)(z ± i)−5 z=±i = ∓ 3 16 i. F ➚ ✢➪ ∞ ➝➞✜✢ ➶ ◗ ∞ ❀ ❂❧➹ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz, ➼➘★ C 0 ➌❴ ∞ ❀➴ ➷ (➬r➌ ➮♦➱✃ ➷ ) ✬❐★ ❫❒❂❅ ❫❒ ❆✹ ∞ ❀ ➒❮➌ f(z) ★ ✿❀ ❁➨❰✿❀✷ F res f(∞) Ï❡➌ f(z) ❅ ∞ ❘ ✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ z 1 ➍ ★❯❄✷ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz = − 1 2π i I C f 1 t dt t 2 = − 1 t 2 f 1 t ❅t = 0❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t −1➍ ★❯❄ = − f 1 t ❅t = 0❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t 1➍ ★❯❄ = − f(z)❅z = ∞❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊z −1➍ ★❯❄✷ F ➼✼ÒÓ➲ ✺✻Ô▼❡ÕÖ▼× 1. ØÙÚÛÜ❂ ⑥ t f(z) ❹ ∞ ❼⑦ st❂ÝÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãä å z −1 æ⑦ çtè é −1 ❂êë ì ➂íî ïð ✷ 2. ØñòÛÜ❂óÞ z −1 æôõÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãäö⑦÷øù❶❂úû❂ü ý ∞ ❼þô f(z) ⑦❻❼❂ res f(∞) ÿ éþ➁ 0 ✷ ✁✂❂üý ∞ ❼ô f(z) ⑦❻❼❂ ✄☎ôí✆ ✝❼ ❂ÿ é ➁ 0 ✷ F ✜✢➞✞✟ ✠ ✤ ➚ ✢ ➞✡☛☛☞✷ ✌ ✷✍❃❄ f(z) = 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) ✎ ✭✭q✷ 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) = A z − 1 + B z − 2 + C z − 3 . ➾ ✼✏ ❧➩❄❂A, B ➲ C ❂ ➴✑ r➌❃❄ f(z) ❅✬➡➎❀ z = 1, z = 2 ➲ z = 3 ❀ ▼★ ◆❄✷✒✓ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2
71留数定理 (2-1)(z-2)(2-3)2=2 1 1 (2-1)(2-2)(2-3)=32 如果函数f(z)具有高阶极点,也可以类似地处理.例如 A B D (2-1)2(2-22-3)=(2-12+z-1+z-2+z-3 容易看出 z-1)(z-2)(z-3) 1-23-4 z-1)2(2-2)(z-3)2=1 2-1)(2-2)(2-3)2=2 2-12(2-2)(2-3)2=3 ★留数的应用一计算定积分 留数定理把围道积分的计算转化为留数的计算,只要能把定积分和一定解析函数的围道积分 联系起来,就有可能比较简便地计算出这些定积分
§7.1 ✄☎✆✝ ☛ 4 ☞ B = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, C = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 2 . ❭Ó ❃❄ f(z) ✔ ✺✕ ➡➎❀ ❂➬➒➓✖✗✘▼♠✷✌❭ ❂ 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) = A (z − 1)2 + B z − 1 + C z − 2 + D z − 3 . ✙✚✛✜ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2 , B = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=1 = 3 4 , C = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, D = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 4 . F ✜✢➞✞✟ ✢✣✣✤ ☛✷ ◆❄❧♠✥ ❫❒✦✭★↔↕✧★✫ ◆❄★↔↕❂ ✩✪❮✥❧✦✭➲✬❧❈❉❃❄★ ❫❒✦✭ ✫ ❯✬✭❂r✺ ➒❮ ✮✯✱✰✘↔↕✜➼✱ ❧✦✭✷
七章留数定理应用应用 分。 72有。三角函的积分 有理三角函数积来,形式是 R(sin 8, cos 0)d8, 其中R是sin6,cos6,有理函数,在积来间上是连续,,作变换z=e°,则 平作 相应积来路径则变2平面上单位圆圆周|2=1·于是, 1z2 -R z|<1 有理 数(sin,cos)在积来间0.2上连续,就保证了有理函数h/2-12+1 在单位圆 化圆周上无奇点 例74计算积来I 1+EcoS 86, El<1 解仿照上面,方法步骤,我们有 1+EcoS 6 1+c2+1i2 dz |=1E22+22+Ei E22+22+E -|<1 z=(-1+√1-z)/ 这里在计算留数时,要注意函数2/(2+22+E)有两个极点, 但由于它们,乘积。1,所以不难判断,起定只有起个极点,z=(-1+Ⅵ1-2)/,处于单位圆 内
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §7.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺ ♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★ ✺ ♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z dz iz = 2π X |z|<1 res 1 z R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z . ✺ ♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺ ♠❃❄ R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 7.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res 2 εz2 + 2z + ε = 2π · 2 2εz + 2 z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ➼➘❅ ↔↕ ◆❄♦❂✪❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺ ➤ ✼ ➎ ❀ ❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓❡❖P◗❂✬❧✩✺ ✬ ✼ ➎ ❀ ❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅ ❆✷
73无穷积分 第6页 73无穷积分 无穷积分的定义为 f(a)dr =:m 有时这种极限不存在,但。lm/f(存在,称为积分主值,记为 - OOJ-R f(r)dr f(r)de 显然,当这两种极限都存在时,它们必定相等 在复平面上看,积分 f(r)d 是沿着实轴进行的,并不构成复变函数的围道积分 我们可以容易地将实函数f(x)延拓为复函数f(2) ·为了能构成围道积分并应用留数定理计算,还必须: (1)补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算∮f()dz (2)在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关,或者可以简单方便地计算 出来 最自然的做法当然是补上以原点为圆心,R为半径的上半圆CR f(a)dz f(a)dx+ f(a)dz. 图72 而后令R→∞·这样,我们便需要计算/f(x)dz的极限值.只要f(x)满足适当的条件 这是可以做到的 不妨假设函数f(2)满足下列条件:
§7.3 ❘❙❚❯ ☛ 6 ☞ §7.3 ❱❲✷✸ ❰❳✦✭★❧➹✫ Z ∞ −∞ f(x) dx = lim R1 → +∞ R2 → +∞ Z R2 −R1 f(x) dx. ✺ ♦ ➼❨ ➎ ✻ ❡❩❅❂▼ lim R → +∞ Z R −R f(x)dx ❩❅❂▲✫✦✭❬❇❂❭✫ v.p. Z ∞ −∞ f(x)dx = lim R→+∞ Z R −R f(x)dx. ❪❫❂❴ ➼ ➤ ❨ ➎ ✻❵ ❩❅♦❂❖❏❛❧ ✾ P✷ ❅❥❂❃■ ✛ ❂✦✭ Z ∞ −∞ f(x) dx ➌❜❝❞❡❢❣★❂Ï❡❤✐❥✼❃❄★ ❫❒✦✭✷ • ■❏➒➓✙✚✘✍❞❃❄ f(x) ❥❦✫❥❃❄ f(z) • ✫❈❮❤✐ ❫❒✦✭Ï✿❧ ◆❄❧♠↔↕❂♠❛♥× (1) ♦■♣❴★✦✭❀❁q✺✐✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz r (2) ❅♦■★❀❁■★✦✭❂st✉➦✪ ➉ ↔↕★❰❳✦✭✈✇✾①❂ st➒➓✱✲✃✰✘↔↕ ✜ ✭✷ ② ③❫ ★④❋❴❫ ➌♦■➓➊❀ ✫ ❅⑤❂ R ✫⑥❁★■⑥ ❅ CR ❂ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z) dz. ❱ 7.2 q⑦⑧ R → ∞ ✷ ➼⑨ ❂■❏✰⑩✪↔↕ Z CR f(z)dz ★➎✻ ❇✷✩✪ f(z) ❶❷♣❴★❸❹❂ ➼ ➌➒➓④❺★✷ ❡❻❼✥ ❃❄ f(z) ❶❷➑❽❸❹×
七章留数定理及其应用 第7页 1.f(2)圆我半垩面除了限孤相应径是了析的平 圆实轴我们应 但但 2.圆0≤argz≤丌范内平当|2|→∞补平2f(2)一致地 趋于0平即对于任给的c>0平存圆M()>0平沿当 2|≥M平0≤argz≤丌补平|zf(2)<∈积 这两个条件并不苛刻积第1个条件保证了原来 后,需满 不是瑕 需满 平并且可以应用 或者与计算 笫2个条件平首先是作为实变无需满3 f(a)dz 2丌i 上半平面 收敛条件 f(=0 后 直 自然推广平同时平根据引3.1平又保证了 lim f(a)dz=0. 取极限R→∞平;得到 f(x)dx=2i∑resf(2) 我半平面 例7.5计算。积来I 积 解此补显然符合我述要求的条件平故 a(1+x2)3 =2丌i.res (1+2)|2= 16)= 最后平为了对应用留数还计算m积来的基本思想变 比较深入的还了平轴妨再重延一下 前面的叙述 为了能够应用留数还计算无穷积来平我们必须: 用 1.补我适当的积来路径而形成闭合道平计算∮f(a)d 2圆补我的路径我的积来平或者与所要求计算的无穷积来直接相关平 或者可以简单方便地计算出来积
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■⑥❂❃✹ ❈ ✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂ ❅❞❡■❏✺✿❀r 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❾ ❫❆❂❴ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❿✘ ➀ ◗ 0 ❂➁ ➶ ◗➂➃★ ε > 0 ❂❩❅ M(ε) > 0 ❂❜❴ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➄î➅➆➇þ➈➉✷➊ 1 î➅➆➋➌ ➂ ➍➎⑦ ➏➐⑩❶þô➑⑩❶❂➇➒ é➓➔ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û→➣ ↔ res f(z). ➊ 2 î➅➆❂↕➙ô➛➁ ➏➐➜➝⑩❶⑦➞➟➅➆ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➠➡➢ ➤❂➥➦❂➧➨ ➩✈ 3.1 ❂➫➋➌ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂r➯❺ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■⑥❂❃ res f(z). ➸ 7.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❪❫➲✴■➳ ✪ ➉★❸❹❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3 z=i =2π i · − 3i 16 = 3 8 π. ② ⑦❂✫❈ ➶✿❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➵➸➺➻✺ ✬ ✼ ✮✯➼➽★♠❈❂❡❻➾➚❥✬➑ ➪ ❃★➶➳× ✫❈❮➹ ✿❧ ◆❄❧♠↔↕❰❳✦✭❂■❏❛♥× 1. ♦■♣❴★✦✭❀❁q✺✐✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz r 2. ❅♦■★❀❁■★✦✭❂st✉➦✪ ➉ ↔↕★❰❳✦✭✈✇✾①❂ st➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷
分 73无穷积分 基于这样,理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积来. ★如果是f(x)偶函数,则对于积分/f(x)dx,由于 f(r)de f(r)dx, 所以仍然可以采用图72的围道,并重复上面的讨论,而得到 f(r)dx res f(2 上半平面 ★如果在积分f)dx中,被积函数f(2)具有某种对称性质,例如 f(a)=f(eel) 那么,也可以采用图7.3中的围道来计算 例70计算定积来 图74 解由于这里A被积函数f(以=、1 1+x4 是x4,函数,所以,我们可以采用图74,围道:沿 正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点.这样,根据留数定理,有 +x=.+x+x+:+厂 1+(iy)4 (1-i)
§7.3 ❘❙❚❯ ☛ 8 ☞ ➵◗ ➼⑨ ★♠❈❂r➒➓➘➴➷➬✘➮❧ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➱Úô f(x) ✃⑥ t ❂ ø❐ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ❒ é❮➡ é❰➔ Ï 7.2 ⑦ ⑧⑨❂➇ÐÑÛ ↔ ⑦ÒÓ❂ÔÕÖ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û→➣ ↔ res f(z). F ➱Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂× ⑩ ⑥ t f(z) Ø ❿ ÙÚ❐ÛÜÝ❂Þ➱ f(z) = f(ze iθ ), ß à❂ÿ é❰➔ Ï 7.3 å⑦ ⑧⑨➎➃➄✷ ❱ 7.3 ➸ 7.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ❱ 7.4 ➺ ◆ ◗ ➼➘★á✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓â ❧❪ 7.4 ★ ❫❒×❜ ➴ ❞❡ ◆ 0 ❺ R ❂❜ ❅ã❺ä➴å ❡❂➾❜➴å ❡ ◆ iR æ❺➊❀ ✷ ➼⑨ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4
七章留数定理及其应用 第9页 取极限R→∞,因为 所以,根据引理3.1,有 R→∞ 于是就得到 在这个例子中,当然仍然可以釆用半圆形的围道.这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=eπ/和z=e3π/4.计算量当然要略嶶大一些.可以设想,如果要计算 定积分 1+ 禾用夹角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而禾用半圓形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例77计算积分 解显然,这时应该考虑夹角为2x/3的扇形围道(图75) 图75 .1+=(++、+厂 (-)+x+ 1+23 取极限R→∞,因为 所以 B→∞Jc1
✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ = 2π i res 1 1 + z 4 z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ç♠ 3.1 ❂ ✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0. ◗➌r➯❺ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÞè å ❂é ➡❮➡ é❰➔→ êë⑦ ⑧⑨✷ê➦×⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➄î❻❼× z = eiπ/4 ì z = ei3π/4 ✷ ➃➄í é ➡îïðñíò✷ éóô❂➱Ú î➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❰➔õ ö ➁ π/50 ⑦÷ ë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼rÔ❰➔→ êë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➄ø❹➃➄í Û ⑦ùú ûüý✷ ➱ÚÜ❂❹ Û ↔êòÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨ì→ êë ⑧⑨➄øþÿ✁✂⑦✄ ❂ ß à❂ ❹ ☎ ↔êîÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨✆ ➅✝ô✞í⑦ ✁✂✷ ➸ 7.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❪❫❂ ➼ ♦ ✿✟✠✡☛✹✫ 2π/3 ★☞✺ ❫❒ (❪ 7.5) ✷ ❱ 7.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 = 1 − e i2π/3 Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3 z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0