第九章 Laplace变换 说明 ★本章计划讲授学时:6 ★第14页为教学参考资料,备用 ★§9.5不讲授
Laplace ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 6 F ☛ 14 ☞✌✍✟✎✏✑ ✒ ✓✔✕ F §9.5 ✖✝✞
第九章 aplace变换 Laplace变换(简称拉氏变换)是常用的一种积分变换.在数学、物理及工程科学中 有广泛的应用 ·本章介绍 Laplace变换的定义及其基本性质,以及它的简单应用 1 Laplace变换 Laplace变换是一种积分变换,它把f(t)变换为F(p), F(p)=/epf(t)dt 这里的t是实数,p是复数,p=5+i,F(p)称为f(t)的 Laplace换式,简称拉氏换式,e-P 是 Laplace变换的核 通常把 Laplace变换简写为 F(p)={f(t)} 或F(p)=f(t; f(t)=2-F(p)) E f(t)=F(p) f(t)和F(p)有时也分别称为 Laplace变换的原函数和象函数 需要说明,在本章中约定:f(t)应该理解为f(t)n(t),其中 7(t) t>0 0,t0 这里的限制条件Rep>0是为了保证积分收敛,或者说是 Laplace变换存在的条件 例9.2函数f()=e的 Laplace换式为 这里的限制条件Rep>Rea同样是为了保证积分收敛,即 Laplace变换存在
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Laplace ✡ ☛ • Laplace ☞✌ (✍✎✏ ✑☞✌) ✒✓✔✕✖✗✘✙☞✌✚✛✜ ✢✣✤✥✦✧★✩ ✢✪ ✫ ✬✭✕✮✔ ✚ • ✯✰✱✲ Laplace ☞✌✕✳✴✦✵✶✯✷✸✹✺✦✻✕ ✍✼✮✔✚ §9.1 Laplace ✽ ✾ Laplace ✿❀❁❂❃❄❅✿❀✹❆❇ f(t) ✿❀❈ F(p) ✹ F(p) = Z ∞ 0 e −ptf(t) dt. ❉❊❋ t ●❍■✹ p ●❏■✹ p = s + iσ ✚ F(p) ❑▲ f(t) ❋ Laplace ▼◆✹❖❑P ◗▼◆✚ e −pt ● Laplace ❘▼❋❙✚ ❚❯❱ Laplace ❘▼❖❲▲ F(p) = ❳ {f(t)} ❨ F(p) : f(t); f(t) = ❳ −1 {F(p)} ❨ f(t) ; F(p). f(t) ❩ F(p) ❬❭❪❫❴❑▲ Laplace ❘▼❋❵❛■❩❜❛ ■✚ ❝❞❡ ❢✹ ✛ ✯✰ ✪❣✳❤ f(t) ✮✐✥❥❦ f(t)η(t) ✹ ✵ ✪ η(t) = ( 1, t > 0, 0, t 0. ❉❊❋qrst Re p > 0 ●▲✉✈✇①❫②③✹❨④⑤● Laplace ❘▼⑥⑦❋st✚ ♣ 9.2 ❛ ■ f(t) = eαt ❋ Laplace ▼◆▲ e αt ; Z ∞ 0 e −pt · e αt dt = − 1 p e −(p−α)t ∞ 0 = 1 p − α , Re p > Re α. ❉❊❋qrst Re p > Re α ⑧⑨●▲✉✈✇①❫②③✹⑩ Laplace ❘▼⑥⑦✚
9.1 Laplace变换 从例1和例2可以看出,由于 Laplace变换的核是e-n,所以对于相当广泛的函数f(t),其 拉氏换式都存在;甚至当t→∞,f(t)→∞时,f(t)的拉氏换式也可能存在 Laplace变换存在的条件也就是积分/erf(t)dt收敛的条件,在绝大多数实际间题中,f(t) 都能满足 1.f(t)在区间0≤t0及s′≥0,使对于任何t值(实际上,只要对于 足够大的t值) If(t)< Me' 这是 Laplace变换存在的充分条件.一般间题中遇到的函数都能满足这个要求 如果s存在的话,它一定并不唯一,因为比s大的任何正数也符合要求s的下界称为收 敛横标,记为s0
§9.1 Laplace ✄ ☎ ✆ 2 ✝ ❶❷ 1 ❩ ❷ 2 ❸❹❺❻✹❼❽ Laplace ❘▼❋❙● e −pt ✹❾❹❿❽➀➁➂➃❋❛■ f(t) ✹➄ P ◗▼◆➅⑥⑦➆➇➈➁ t → ∞, f(t) → ∞ ❭✹ f(t) ❋ P ◗▼◆❪❸➉⑥⑦✚ Laplace ✿❀➊➋➌➍➎➏➐❁❄❅ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ➑➒➌➍➎✚⑦➓➔→■❍➣↔↕ ➙✹f(t) ➅➉➛➜ 1. f(t) ✛ ➝➞ 0 ≤ t 0 ✦ s 0 ≥ 0 ✹➶➹➘➲➳ t ➴ (➷➬➮✹➱❞➹➘ ✃❐❒✕ t ➴) ✹ |f(t)| < Me s 0 t . ❉ ● Laplace ✿❀➊➋➌❮❅➍➎✚❰Ï↔↕ ➙ÐÑ❋❛■➅➉➛➜❉ÒÓÔ✚ ÕÖ s 0 ⑥⑦❋×✹Ø❰ÙÚÛÜ❰✹Ý▲ Þ s 0 ➔ ❋ßàá■❪âãÓÔ✚ s 0 ❋äå❑▲ ➑ ➒æç ✹è▲ s0 ✚
9.2 Laplace变换的基本性质 性质1 Laplace变换是一个线性变换,即若 f1(t)=F1(p),f2(t)=F2(P a1f1(t)+a2/2(1)=a1F1(p)+a2F2(D) 这个性质很容易从 Laplace变换的定义得到,因为它只不过是积分运算的线性性质的反 映,根据这个性质,立即得到 cos wt 11 性质2 Laplace换式的解析性 如果函数f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 当s-50≥6>0时, 积分/Me-“业收敛,故/e-rft)dt在Rep≥+6中一致收敛,因而在Rep>c0的半平 面内代表一个解析函数,即F(p)在半平面Rep>so内解析 这个性质可以用来确定收敛横标s,这在求 Laplace变换的反演时是非常重要的 性质3若f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 F(p)→0,当R 证因为 FsC"osa…- 故当Rep=s→+∞时,F(p)→0.口
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 3 ✝ §9.2 Laplace éêëìíîï ðñ 1 Laplace ✿❀❁❂òóð ✿❀ ✹⑩ô f1(t) ; F1(p), f2(t) ; F2(p), õ α1f1(t) + α2f2(t) ; α1F1(p) + α2F2(p). ➸ö✷✸÷ø ùú Laplace ☞✌✕✳✴ûü✹ý❦✻ ➱þÿ✒✘✙✁✕✂✷✷✸✕✄ ☎ ✚✆✝➸ö✷✸✹✞ ➾ûü sin ωt = e iωt − e −iωt 2i ; 1 2i 1 p − iω − 1 p + iω = ω p 2 + ω2 ; cos ωt = e iωt − e −iωt 2 ; 1 2 1 p − iω + 1 p + iω = p p 2 + ω2 . ðñ 2 Laplace ❀✟➌✠✡ð ✚ ÕÖ❛■ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ e −ptf(t) 0 ❭✹ e −ptf(t) s0 ❋✎✏ ✑ ✒✓✔❰Ò✕✖❛ ■✹⑩ F(p) ⑦ ✎✏✑ Re p > s0 ✒✕✖✚ ➸ö✷✸✗ ✺✔✘✙✳✚✛✜✢ s0 ✹ ➸✛✣ Laplace ☞✌✕✄✤♦✒ ✥✓✦ ❞ ✕✚ ðñ 3 ô f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ F(p) → 0, ➁ Re p = s → +∞. ✧ Ý▲ |F(p)| ≤ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ≤ M Z ∞ 0 e (s−s0)t dt = M s − s0 , ☞➁ Re p = s → +∞ ❭✹ F(p) → 0 ✚
变换的基本 实际上,由 Rieman- Lebesque定理①还可证明,当Rep=s>s时, 性质4原函数的导数的 Laplace变换,设f(t)及∫'(t)都满足 Laplace变换存在的充分条 件,f(t)=F(P),则因为 f(t)e-ptdt=f(t)e-pt+p/f(t)e-pt dt (p)-f(0), 所以 f(t)=pF(p)-f(0) 因此,对原函数∫(t)的微脔运算就转化为对象函数F(p)的乘法运算,而且还自动包括 了∫()的初值.正因为这个特点,所以 Laplace变换方法是求解微分方程的一种重要方 样,只要f(t),f'(t),f"(t),…,f(n)(t)都满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p) f"(t)=p2F(p)-pf(0)-f(0), f(3)(t)=p3F(p)-p2f(0)-pf(0)-f”(0) 图9.1 ① Riemann- Lebesque定理的内容是:如果函数f(t)在区间a≤t≤b上分段连续,则 f(t)sin wt dt=0, f(t)cost dt=0
§9.2 Laplace ✄☎★✩✪✫✬ ✆ 4 ✝ ❍➣✭✹❼ Riemann–Lebesque Ù✮ ✯ ✰❸✇ ✱✹➁ Re p = s > s0 ❭✹ lim Im p→±∞ F(p) = 0. ðñ 4 ✲✳✴➌✵✴➌ Laplace ✿❀ ✚✶ f(t) ✷ f 0 (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ s t ✹ f(t) ; F(p) ✹ õ Ý▲ Z ∞ 0 f 0 (t) e−pt dt = f(t) e−pt ∞ 0 + p Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = pF(p) − f(0), ❾❹ f 0 (t) ; pF(p) − f(0). ý✸ ✹➹✹✺✜ f(t) ✕✻✼✁✽✾✿❦➹❀✺✜ F(p) ✕❁❂✁✹➫➭❃ ❄❅ ❆❇ ➠ f(t) ✕❈➴✚ ➪ ý❦➸ö❉➥ ✹ ❊ ✺ Laplace ☞✌❋❂✒ ✣❥ ✻✙❋ ★ ✕✖✗✦ ❞ ❋ ❂✚ ⑧⑨✹●Ó f(t), f0 (t), f00(t), · · · , f(n) (t) ➅➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ f 00(t) ; p 2F(p) − pf(0) − f 0 (0), f (3)(t) ; p 3F(p) − p 2 f(0) − pf0 (0) − f 00(0), . . . f (n) (t) ; p nF(p) − p n−1 f(0) − p n−2 f 0 (0) − · · · − pf(n−2)(0) − f (n−1)(0). ❍ 9.1 ✯ Riemann–Lebesque ■❏❑▲▼◆❖P◗❘❙ f(t) ❚❯❱ a ≤ t ≤ b ❲❳❨❩❬❭❪ lim ω→∞ Z b a f(t) sinωt dt = 0, lim ω→∞ Z b a f(t) cos ωt dt = 0
例9.3LR分联电路(见图9.1),K合上。前电路中没有电流,求K合上后电路中的电流 解根 Kirchhoff定为,可列出微分方程 L-+Ri= e i(0)=0 设it)=I(p),则 d=p(p)-i(0)=p/(m) 所以 E (Lp+R)I(p) E pI(p)+RI(p) 这样,经过 Laplace变换,求常微分方程的问题就,为求代数方程 件 P Lp+RRP Lp+R 从象函数证过来求原函数的问题存为证在 由 在这个中,将”数部分分式,可以用指数数、三角数数的 Laplace变换 公式,就所求出数 性质5原函数的积分的 Laplace变换.设f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件, UC r (Gdr ier)drs Meor dr = bo (eot -1) 所以/f(r)dr的 Laplace变换也存在, f(t)=F(P). f()dr=2 f()dr 但因为a()dr=f(),根解当质4,有 F(p)=p2/ f(r) 所以 f(r) F(P)
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 5 ✝ ♣ 9.3 LR ❫❴ ❵❛ (❜❝ 9.1) ✹ K ã✭❞❡ ❵❛ ➙❢❬ ❵❣✹ Ô K ã✭❤ ❵❛ ➙ ❋ ❵❣✚ ✠ ✐❥ Kirchhoff Ù❦✹❸❧❻♠❫♥♦ L di dt + Ri = E, i(0) = 0. ✶ i(t) ; I(p) ✹ õ di dt ; pI(p) − i(0) = pI(p). ❾❹ LpI(p) + RI(p) = E p , Lp + R I(p) = E p . ❉ ⑨✹♣q Laplace ❘▼✹Ô✕❯ ♠❫♥♦❋ ↔↕rst▲ Ô✕✓ ■♥♦✹ I(p) = E p 1 Lp + R = E R 1 p − L Lp + R . ❾❹ i(t) = E R h 1 − e −(R/L)t i . ✉✈✳✴✇①②③✲✳✴➌④⑤⑥❈✇⑦ ✚ ✛➸ö⑧⑨ ✪ ✹⑩❀✺✜❶ ✙✙❷✹❸❹✔➽✜✺✜✣❺ ❻✺✜❼✺✜ ✕ Laplace ☞✌ ❽ ❷✹✽❾✣ ❿✹✺✜ ✚ ðñ 5 ✲✳✴➌❄❅➌ Laplace ✿❀ ✚✶ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ Z t 0 f(τ) dτ ≤ Z t 0 |f(τ)| dτ ≤ Z t 0 Me s0τ dτ = M s0 e s0t − 1 , ❾❹ Z t 0 f(τ) dτ ❋ Laplace ❘▼❪⑥⑦✹ f(t) ; F(p), Z t 0 f(τ) dτ ; ❳ Z t 0 f(τ) dτ. ➀ Ý▲ d dt Z t 0 f(τ) dτ = f(t) ✹✐❥➁➂ 4 ✹❬ F(p) = p❳ Z t 0 f(τ) dτ − 0. ❾❹ Z t 0 f(τ) dτ ; F(p) p
变换的基本 第6页 图9.2 例9.4LC串联电路(见图9.2) i(r)dr 所以 +收尝 这是关于未知函数i(t)的微分积分方程.设i(t)=I(p),则有 LpI(p)+ 1I(P) 所以求解微分积分方程的问题也转化为求解代数方程 I(p) 利用性质1中的结果求反演,即得 (b)=VIC Sin vic
§9.2 Laplace ✄☎★✩✪✫✬ ✆ 6 ✝ ❍ 9.2 ♣ 9.4 LC ❫❴ ❵❛ (❜❝ 9.2) q C = L di dt , q = − Z t 0 i(τ) dτ + q0. ❾❹ L di dt + 1 C Z t 0 i(τ) dτ = q0 C . ❉ ●➃❽➄➅❛ ■ i(t) ❋ ➆ ❅❄❅➇➈ ✚✶ i(t) ; I(p) ✹ õ ❬ L p I(p) + 1 C I(p) p = q0 C 1 p . ❾❹Ô✕ ♠❫①❫♥♦❋ ↔↕❪st▲ Ô✕✓ ■♥♦ I(p) = q0 LCp2 + 1 . ➉➊➁➂ 1 ➙ ❋➋ÖÔ➌➍✹⑩➎ i(t) = q0 √ LC sin t √ LC
89.3 Laplace变换的反演 象函数的导数的反演设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)F(p),则F(p)在 ep≥s1>so的半平面中解析,因而可以在积分号下求导 dpn/ f(t)e-pt dt (t)"f(t)ep dt 所以 F(n)(p)=(-t)f(t) 根据这个公式,可以容易地得到 d 1 1d211 2 dn2 若F(p)是有理函数,则总可以通过部分分式求反演.例如 (+a)=a7-a严+ap-ap+a 1 +一t+ 象函数的积分的反演如果/F(q)dq存在①,且当t→0时,Jf(t)/t有界,则 F( dg= f) 证将F(q)的表达式代入,并交换积分次序 F(adq f(te dt f(t)dt/eqt dq a 关于交换积分次序的合法性的讨论,见参考书目[1].口 利用这个公式,又可以得到许多函数的 Laplace变换.例如 ①这里的积分上限应了解为Rep→+∞,并且积分路径在F(p)的解析区域内,因而积分与路径无关
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 7 ✝ §9.3 Laplace éêë➏➐ ✈ ✳✴➌✵✴➌✇⑦ ✶ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ F(p) ⑦ Re p ≥ s1 > s0 ❋✎✏✑ ➙ ✕✖✹Ý✍❸❹⑦①❫➑ äÔ➒ F (n) (p) = d n dp n Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = Z ∞ 0 (−t) n f(t) e−pt dt. ❾❹ F (n) (p) : (−t) nf(t). ✐❥❉Ò➓ ◆✹❸❹➔→➣➎Ñ 1 p 2 = − d dp 1 p : t, 1 p 3 = 1 2 d 2 dp 2 1 p : 1 2 t 2 . ô F(p) ●❬✮❛ ■✹õ↔ ❸❹❚ q↕❫❫◆Ô➌➍✚ ❷Õ 1 p 3(p + α) = 1 α 1 p 3 − 1 α2 1 p 2 + 1 α3 1 p − 1 α3 1 p + α : 1 2α t 2 + 1 α2 t + 1 α3 − 1 α3 e −αt . ✈ ✳✴➌❄❅➌✇⑦ ÕÖ Z ∞ p F(q) dq ⑥⑦ ✯ ✹➙➁ t → 0 ❭✹ |f(t)/t| ❬ å ✹ õ Z ∞ p F(q) dq : f(t) t . (F) ✧ ➛ F(q) ❋✔➜◆ ✓➝✹Ú➞▼①❫➟➠ Z ∞ p F(q) dq = Z ∞ p dq Z ∞ 0 f(t) e−qt dt = Z ∞ 0 f(t) dt Z ∞ p e −qt dq = Z ∞ 0 f(t) t e −pt dt, ➃❽➞▼①❫➟➠❋ ã➡➁❋➢➤✹❜➥➦➧ ➨ [1] ✚ ➉➊❉Ò➓ ◆✹➩❸❹➎Ñ➫→ ❛ ■ ❋ Laplace ❘▼✚❷Õ sin ωt t ; Z ∞ p ω q 2 + ω2 dq = π 2 − arctan p ω . ✯ ➭➯❑➲❳❲➳➵➸➺➻ Re p → +∞ ❭➼➽➲❳➾➚❚ F(p) ❑➺➪❯➶▲❭➹➘➲❳➴➾➚➷➬➮
9.3 Laplace变换的反演 特别是,如果p→0时,(★)式两端的积分均存在,则有 F(p)dp 利用这个结果,可以计算2出型的积分侧如 这个积分曾经应用留数定理计算过,这里的计算更为简便 有些积分无法用留数定理计算,但却可以用这个办法计算.例如 1 2p2+b2 Inb-Ina, a>0,b>0. 象函数在∞点解析的情形如果F(p)可以由半平面Rep>s0(单值地)解析延拓到含有p=∝ 点在内的一定区域内,且在P=∞点解析,这样,函数F(p)就可以在p=∞点作 Taylor展开 F(p) 级数中不含n=0项,是因为F(p)作为 Laplace换式,应当满足Rep→+∞时F(p)→0 的要求 将级数逐项求反演,就得到 f()=∑ 这种作法的合法性在于要证明此级数收敛,从而确认∫(t)=F(四).为此作圆周CB: =R,在CR外无F(p)的奇点, 因为p=∞是F()的零点,所以 F(p)I R > 因之,|n|<MRn-1.由此可以得到 ∑过MF=M n=0 故级数收敛,这里同时也证明了∫(t)具有有限的增长指数,因而它的 Laplace变换存 在.口
§9.3 Laplace ✄☎★➱✃ ✆ 8 ✝ ❐ ❴●✹ÕÖ p → 0 ❭✹ (F) ◆❒❮❋ ①❫❰⑥⑦✹õ ❬ Z ∞ 0 F(p) dp = Z ∞ 0 f(t) t dt. ➉➊❉Ò➋Ö ✹❸❹ÏÐ Z ∞ 0 f(t) t dt Ñ ❋ ①❫✚❷Õ Z ∞ 0 sin t t dt = Z ∞ 0 1 p 2 + 1 dp = π 2 . ➸ö✘✙ ÒÓ✮✔ Ô ✜ ✳ ✥Õ ✁ÿ✚➸Ö ✕ Õ ✁×❦ ✍Ø✚ ❬Ù①❫Ú➡➊ Û■Ù✮ÏÐ✹ ➀Ü❸❹➊❉ÒÝ ➡ÏÐ✚ ❷Õ Z ∞ 0 cos at − cos bt t dt = Z ∞ 0 p p 2 + a 2 − p p 2 + b 2 dp = 1 2 ln p 2 + a 2 p 2 + b 2 ∞ 0 = ln b − ln a, a > 0, b > 0. ✈ ✳✴➋ ∞ Þ✠✡➌ßà ÕÖ F(p) ❸❹ ❼✎✏✑ Re p > s0(áâ➣) ✕✖ãäÑå❬ p = ∞ æ ⑦ ✒❋❰Ùçè ✒ ✹➙⑦ p = ∞ æ✕✖✹ ❉ ⑨✹❛ ■ F(p) r❸❹⑦ p = ∞ æé Taylor êë F(p) = X∞ n=1 cn p −n . ì✜ ✪þí n = 0 î✹✒ ý❦ F(p) ï ❦ Laplace ✌❷✹✮ ♥ð✃ Re p → +∞ ♦ F(p) → 0 ✕ ❞✣ ✚ ➛ñ■òóÔ➌➍✹r➎Ñ f(t) = X∞ n=0 cn+1 n! t n . ➸ ✗ï❂✕ô❂✷ ✛➘❞õ ❢✸ì✜ ✚✛✹ú➫✙ö f(t) ; F(p) ✚ ❦✸ ï ÷ø CR : |p| = R ✹ ✛ CR ➦ù F(p) ✕ú ➥ ✹ cn = 1 2π i I CR F(p) p n−1 dp. ý❦ p = ∞ ✒ F(p) ✕û ➥ ✹ ❊ ✺ |F(p)| R, ýü ✹ |cn| < MRn−1 ✚ý ✸ ✗ ✺ûü X∞ n=0 cn+1 n! t n ≤ X∞ n=0 |cn+1| n! |t| n < M X∞ n=0 1 n! R n |t| n = Me R|t| , þì✜ ✚✛✚ ➸Ö ÿ ♦ õ ❢ ➠ f(t) ✁ ✫✫➵✕➻➼➽✜ ✹ ý ➫ ✻ ✕ Laplace ☞✌➚ ✛ ✚
应用这个方法可以求出函数 +1的反演.这是一个多值函数,如果规定单值分枝 则有 (2k)! Vpi 2(k!)2p2 22k(k!)2 k!k!(2 k=0 这正是54节例7和64节中见到过的 Bessel函数Jo(t) 另一个例子是 1。-/=∑(-)7np+ n=0 n!n! 根据 Laplace变换的线性性质,如果 Laplace换式F(p)可以分解为两个函数F(p)和 F2()之和,那么,它的反演问題当然就很简单:只要F1()和F2()的原函数都存在, F()的原函数就是F()和F2(p)的原函数之和,如果F(p)可以分解为F1(p)和F2(p) 之积,其反演问題就需要用到下面的卷积定理 卷积定理设H1(p)f1(t),F2(p)f2(t),则 F1(P)F2()=f(T)(t-7)d F1(P)F2(p) fi(r)e-pt dr f2(vep dv f1(r)dr/ f2()e-p(r+v)dv fi(r)dr/ f2(t-r)e-pt di 可以在O平面上画出积分区域(见图10.3),然后改变积分次序,即得
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 9 ✝ ✂➊❉Ò♥➡❸❹Ô ❻ ❛ ■ 1 p p 2 + 1 ❋➌➍✚ ❉ ●❰Ò →â ❛ ■✹ÕÖ✄Ùáâ❫☎ 1 p p 2 + 1 p→∞ → 1 p , õ ❬ 1 p p 2 + 1 = X∞ k=0 (−) k (2k)! 2 2k(k!)2 1 p 2k+1 : X∞ k=0 (−) k 1 2 2k(k!)2 t 2k = X∞ k=0 (−) k k! k! t 2 2k . ❉á● 5.4 ✆ ❷ 7 ❩ 6.4 ✆ ➙❜Ñq ❋ Bessel ❛ ■ J0(t) ✚ ✝❰Ò❷✞ ● 1 p e −1/p = X∞ n=0 (−) n 1 n! 1 p n+1 : X∞ n=0 (−) n n! n! t n = J0(2√ t). ✆✝ Laplace ☞✌✕✂✷✷✸✹✟✠ Laplace ✌❷ F(p) ✗ ✺✙❥❦✡ö✺✜ F1(p) ☛ F2(p) ü ☛✹ ☞ ✌✹ ✻ ✕✄✤ ✍✎ ♥✏✽÷ ✍✼❤➱❞ F1(p) ☛ F2(p) ✕✹✺✜➧➚ ✛ ✹ F(p) ✕✹✺✜ ✽✒ F1(p) ☛ F2(p) ✕✹✺✜ü ☛✚✟✠ F(p) ✗ ✺✙❥❦ F1(p) ☛ F2(p) ü ✘✹✵ ✄✤ ✍✎✽ ❝❞✔ü✑ ✒✕✓✘✳✥ ✚ ✔ ❄✕✖ ✶ F1(p) : f1(t) ✹ F2(p) : f2(t) ✹ õ F1(p)F2(p) : R t 0 f1(τ)f2(t − τ) dτ. ✧ F1(p)F2(p) = Z ∞ 0 f1(τ) e−pτ dτ Z ∞ 0 f2(ν) e−pν dν = Z ∞ 0 f1(τ) dτ Z ∞ 0 f2(ν) e−p(τ+ν) dν = Z ∞ 0 f1(τ) dτ Z ∞ τ f2(t − τ) e−pt dt, ❸❹⑦ Otτ ✏✑ ✭✗❻①❫çè (❜❝ 10.3) ✹✘❤✙❘①❫➟➠✹⑩➎